专题18 解析几何综合
1．(2020届湖南省怀化市高三第一次模拟)若抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F，O是坐标原点，M为抛物线上的一点，向量FM与x轴正方向的夹角为60°，且△OFM的面积为3. (1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C的准线与x轴交于点A，点N在抛物线C上，求当
2【答案】(1) y?4x；(2) y?x?1或y??x?1
|NA|取得最大值时，直线AN的方程. |NF|【解析】
(1))设M的坐标为M?x,y?，(如图)
,F?因为向量FM与x轴正方向的夹角为60°
?p?,0?， ?2?所以MF?2?x???p??， 2?根据抛物线定义得：MF?x?即x?p， 2pp?3p??2?x??，解得：x?即MF?2p， 222???11p32?OF?MF?sin?OFM???2p?sin120??p?3， 2224则SOMF2解得：p?2即抛物线C的方程为：y?4x；
(2) 设N的坐标为N?a,b?，A??1,0?，则
NA??a?1?2?b2,NF?2?a?1?2?b2，
因为点N在抛物线C：y?4x上，即有：b2?4a， 所以NA??a?1?22?b2??a?1?2?4a?a2?6a?1，
NF??a?1??b2?a2?2a?1，
|NA|a2?6a?1a2?6a?1 因此??22|NF|a?2a?1a?2a?1?1?4a44?1??1??22 1a?2a?12?2a??2a1即a?1时等号成立， a当且仅当a?此时N?1,?2?，A??1,0?， 所以直线AN的方程为： y?x?1或y??x?1
x2y22．(2020届陕西省汉中市高三质检)如图，椭圆2?2?1?a?b?0?的长轴长为4，点A、B、C为椭
ab圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且BC?2AB，S?ABC?3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P、Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C)，且满足?PBC??QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.
x2y2【答案】(1)??1；(2)详见解析.
43【解析】
(1)利用题中条件先得出a的值，然后利用条件BC?2AB，S?ABC?3结合椭圆的对称性得到点B的坐标，然后将点B的坐标代入椭圆方程求出b的值，从而确定椭圆的方程；(2)将条件?PBC?
?QBA得到直线BP与BQ的斜率直线的关系(互为相反数)，然后设直线BP的方程为y?3?k?x?1?，2将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，注意到直线BP与BQ的斜率之间的关系得到点Q的坐标，最后再用斜率公式证明直线PQ的斜率为定值. (1)
BC?2AB，?S?OAB?13S?ABC?， 22又?AOB是等腰三角形，所以B?1,?，
?3??2?x2y2?2?1，求得b2?3， 把B点代入椭圆方程
4bx2y2所以椭圆方程为??1；
43(2)由题易得直线BP、BQ斜率均存在， 又?PBC??QBA，所以kBP??kBQ，
3x2y2设直线BP:y??k?x?1?代入椭圆方程??1，
243化简得3?4k?2?3??x2?8k?k??x?4k2?12k?3?0，
2??4k2?12k?3其一解为1，另一解为xP?， 23?4k?12k2?6k3可求yP??， 23?4k24k2?12k?3?12k2?6k3用?k代入得xQ?，yQ??， 223?4k3?4k2?kPQ?yP?yQxP?xQ?1为定值. 23．(2020届四川省泸州市高三二诊)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF(O
备战2021高考 专题18 解析几何综合(教师版含解析)
