德阳外国语学校2013年春期高2015级5月考试数学试题
( 考试时间：120分钟，满分150分)
一.选择题 (每小题5分,共50分)
1.如果a＜0，b＞0，则下列不等式中正确的是（ A ）
11 A.＜ B.?a＜b C.a2＜b2 D.∣a∣＞∣b∣
ab2.直线 x?y?3?0 的倾斜角是 ( B )
??3?3? B. C. D. ?
4444223.若?an?为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11??，则tana6=( D )
3 A. ?A.3 B. ?3 C.?3 D. ?3
????4.a?(2,1),b?(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为（ B ）
3 A.25 B.2 C.5 D.10
???5. 若函数f?x??2cos?2x???是奇函数，且在?0,?上是增函数，则实数?可能是( A )
?4? A、?? 2B、0 C、
? 2D、?
6．在△ABC中，a=4，b=6，S?ABC=62，则角C为（ C ） A.45? B.135? C.45?或135? D.120?
7.关于x的方程ax2?2x?a?0至少有一个正的实根，则a的取值范围为（ B ） A. 0?a?1 B.?1?a?0 C. a?0或?1?a?0 D. ?1?a?1 8. 点A(-1,4)关于直线x?y?1?0的对称点坐标是( A ) A. (3, 0) B.(4, -2) C. (-2, 4) D. (0, 3)
9. 在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y?f(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数y?f(x)为k阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的是( C ) A.y?x2 B.y?x?1 C.y?ex?1 D.y?log2x
?110．已知定义域为R的函数f(x)???x?1?1?(x?1)(x?1)，若关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?0有3
个不同的实根，则关于x的方程x2?(b?1)x?2c?0的解集为( B ) A．(2,c) B．(c,2) C． (1,c) D． (c,1) 二.填空题 ( 每小题5分,共25分 )
11．已知向量a?(1,2) ，b?(2,-3),向量c满足(c?a)//b，c?(a?b)，则c?
n?112.已知数列{an}，a1?1，an?3?an?1(n?2)，则an= _ 13.若M是直线x?y?6?0上一动点,则x2?y2的最小值等于 1a14.已知不等式(x?y)(?)?9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为
xy15.给出下列命题：（1）直线x= －3?3?是函数y=sin(2x－)图象的一条对称轴； 84（2）若数列an?n2??n(n?N?)为单调递增数列，则?的取值范围是???3；
?????????（3）已知i与j为互相垂直的单位向量，a?i?2j,b?i??j且a与b的夹角为锐角，则实
1数?的取值范围是(??,)；
2（4）若关于x的方程4x?a?2x?3?0有实数解，则实数a的取值范围是(??,?23]； （5）已知O是?ABC所在平面内定点，若P是?ABC的内心，则有
OP?OA??(ABAB?ACAC),??R. 其中正确命题是
三.解答题(共6个小题,前4个小题,每小题12分,20题13分,21题14分 )
16.求经过直线3x?2y?6?0和2x?5y?7?0的交点且与过点A (2,3) 和B(-4,15) 的直线垂直的直线方程.
17．已知函数f(x)?lg
18.已知M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)(x,a∈R，a是常数)，且y=OM·ON (O是坐标原点)
(1)求y关于x的函数关系式y?f?x?；
?(2)若x∈[0，]，f?x?的最小值为6，求a的值.
2
1?x的定义域为A，集合B是不等式x2?(2a?1)x?a2?a?0的解集． x?2(1)求A，B； (2)若A?B?B, 求实数a的取值范围．
19. 某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(阴影部分所示)，大棚所占地面积为S平方米，其中a∶b=1∶2．
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
(1)由题可得：xy?1800,b?2a， 则y?a?b?3?3a?3
S?(x?2)a?(x?3)?b?(3x?8)a?(3x?8)(2)S?1808?3x??3
y?38?1808?3x?y. 33818004800?1808?(3x?)xx 4800?1808?23x??1808?240?1568,
x48001800当且仅当3x?,即x?40时取等号,S取得最大值.此时y??45.
xx所以当x?40,y?45时，S取得最大值
20.已知函数f?x??ln?ax?k?bx??k?0,a?1?b?0?的定义域为?0,???， (1)求k的值；
(2)是否存在实数a,b使得f?x?恰在?1,???上取正值，且f?3??ln4？若存在，试求出a,b的值，若不存在，说明理由．
?a?解：其定义域?0,???，∴a?k?b?0的定义域为?0,???，∴???k，∴k?1．
?b?xxx得f?x??lnax?bx，假设存在满足条件的a,b，则f?3??lna3?b3?ln4∴a?b?4，
33xxxx∵a?1?b?0，∴u1?a增函数，u2?b为减函数，∴g?x??a?b为增函数．
????∴对f?x?恰在?1,???上取正值，可得f?1??ln?a?b??0，∴a?b?1．
解得：a?1?5?1?5,b?．点评：本题从函数的单调性入手，结合函数的定义域和值域，全面地22考查了函数的性质，难点是对“恰好?1,???上取正值”的理解．
21.设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)?1x米
点，已知点M的横坐标为．
2 (1)求点M的纵坐标；
12n?1)，其中n?N*且n?2， (2)若Sn?f()?f()???f(nnn1x?log2图象上任意两点，且M为线段AB的中21?x① 求Sn；
?2n?1?*3② 已知an??，其中，Tn为数列{an}的前n项和，若n?N?1?n?2?(S?1)(S?1)n?1?nTn??(Sn?1?1)对一切n?N*都成立，试求λ的最小正整数值．
x1?x21??x1?x2?1 22xxy?y21?y1?y2?1?log2(1?2)?1?log21?1?1?
1?x11?x2221即M点的纵坐标为定值……………………………………………………………………4分
2解（1）依题意M的横坐标为1，由A(x1,y1)，B(x2,y2)即
（2）由①知
x?(1?x)?1,?f(x)?f(1?x)?1……………………………………6分
12n?1Sn?f()?f()??f()
nnnn?1n?21Sn?f()?f()??f()………………………………………………8分
nnnn?1?2Sn?(n?1)?1?Sn?(n?N*且n?2)……………………………………9分
2又（3）当n?2时，an?又n?1，a1?14?
(Sn?1)(Sn?1?1)(n?1)(n?2)42?也适合。 2?33?an?
4(n?N*)……………………………………………………………10分
(n?1)(n?2)?Tn?444111111?????4(???????) 2?33?4(n?1)(n?2)2334n?1n?2112n?4(?)?(n?N*)………………………………………………………11分
2n?2n?22nn4n*??(?1)恒成立(n?N*)???2由对n?N恒成立 n?22n?4n?4即???2 ?n?4n?4??max?4n?4n4（当且仅当n?2取等号） ?24n?4n?4n??4n4*令f(n)?n?（n?N），
n而
据双勾函数知f(n)?n?4?4（当且仅当n?2取等号） n∴
4n?2n?4n?4441??（当且仅当n?2取等号） 44?42n??4n∴?4n1??? 2?n?4n?4??max2∴??
1
， 2
∴?的最小正整数为1。
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