1?
3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f??3?的x的取值范围是( )
12?A.??3，3? 12?C.??2，3?
[解析] ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)， 1?∴f(|2x－1|)＜f??3?，
112
再根据f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜，故选A.
333[答案] A
4．(2018·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cos x，如果f(1－a)＋f(1－a2)＜0，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) C．(－2，－2)
B．(1, 2)
D．(1，2)∪(－2，－1) 12?B.??3，3? 12?D.??2，3?
[解析] 依题意得，f′(x)＞0，则f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2)＜0等价于f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，则－1＜1－a2＜a－1＜1，由此解得1＜a＜2.
[答案] B
1
ex－x?，若f(x1)＜f(x2)，则( ) 5．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝x?e??A．x1＞x2 C．x1＜x2
1x?[解析] (1)f(－x)＝－x?x－e＝f(x)， ?e?∴f(x)在R上为偶函数， 11
ex＋x?， f′(x)＝ex－x＋x?e??e
∴x＞0时，f′(x)＞0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(x1)＜f(x2)，得f(|x1|)＜f(|x2|)，
2
∴|x1|＜|x2|，∴x21＜x2.
B．x1＋x2＝0
2D．x21＜x2
[答案] D
6．(2018·河南新野第三高级中学月考)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)
3??x，x≤0，＝－ln(1－x)，函数f(x)＝?若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( )
?g?x?，x＞0，?
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1)
[解析] 设x＞0，则－x＜0.
∵x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，∴g(－x)＝－ln(1＋x)．
3??x，x≤0，
又∵g(x)是奇函数，∴g(x)＝ln(1＋x)(x＞0)，∴f(x)＝?其图象如图所示．
?ln?1＋x?，x＞0.?
由图象知，函数f(x)在R上是增函数． ∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x，即－2＜x＜1.
[答案] D
7．(2018·湖南省常德市一模)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x
－1，则f(－2)＝______.
[解析] 根据题意，当x＞0时，f(x)＝2x－1，
则f(2)＝22－1＝3，又由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3；故答案为：－3.
[答案] －3
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a
－1|
)>f(－2)，则a的取值范围是______．
[解析] ∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－
111113－－
2)＝f(2)，∴f(2|a1|)＞f(2)，∴2|a1|<2＝2，∴|a－1|<，即－ 22222213?[答案] ??2，2? 121??x?x＋－9．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数f(x)＝log?8??8?，则使得f(x＋1)＜f(2x8?－1)成立的x的范围是________． [解析] 由题意得，函数f(x)定义域是R， 1－x1 ?－x?2＋?－??＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，∵偶函数f(x)在(0，＋∵f(－x)＝log?8??8?8?∞)上单调递减，f(x＋1)＜f(2x－1)，∴|x＋1|＞|2x－1|，解得0＜x＜2，故答案为：0＜x＜2. [答案] 0＜x＜2 10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． [解] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数． (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]， f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x. x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4. [B能力提升练] 1．(2018·安徽合肥一模)已知函数在f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( ) A. 4 C. 1 B. 2 D. 0 [解析] 设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sin t＋t＋2，t∈[－2,2]，记g(t)＝(t2－1)sin t＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sin t＋t是奇函数，由已知y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4，故选A. [答案] A 2．(2018·宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)已知函数f(x)＝2sin x－3x，若对任意m ∈[－2,2]，f(ma－3)＋f(a2)＞0的恒成立，则a的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(－3,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) [解析] ∵f(－x)＝2sin(－x)－3(－x)＝－(2sin x－3x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f'(x)＝2cos x－3＜0，∴f(x)单调递减，f(ma－3)＋f(a2)＞0可化为f(ma－3)＞－f(a2)＝f(－a2)，由f(x)递减知ma－3＜－a2，即ma＋a2－3＜0，∴对任意的m∈[－2,2]，f(ma－3)＋f(a2)＞0恒成立，等价于对任意的＜a＜1，故选A. [答案] A 3．(2018·广州调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是 ________ . [解析] ∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2. [答案] 2 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝______. m∈[－2,2]，ma＋a2－3＜0 2??－2a＋a－3＜0 恒成立，则?，解得－1 ?2a＋a2－3＜0? [解析] 因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)． 所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数． 因为f(x)在[0,2]上是增函数，所以f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象． 图象也关于x＝－6对称，x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8. [答案] －8 5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． [解] (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 1 ∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x) 2＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知， f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2?f(|x－1|)＜f(16)． 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴0＜|x－1|＜16，解之得－15＜x＜17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}． [C尖子生专练] (2017·台州模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数 ?x2，x<0，?f(x)＝?若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是______． ??g?x?，x>0， [解析]
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
