x2＋x?x＜0?，??
(3)f(x)＝?0?x＝0?，
??－x2＋x?x＞0?.
1＋x
[解] (1)由≥0得函数的定义域为[－1,1)，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶
1－x函数．
?1－x2＞0，?(2)由?2
?|x－2|－2≠0?
得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)， lg?1－x2?lg?1－x2?所以f(x)＝＝－.
x2－?x2－2?－2
lg[1－?－x?2]lg?1－x2?
因为f(－x)＝－＝－＝f(x)，
x2?－x?2所以f(x)为偶函数． (3)当x＜0时，－x＞0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． 又f(0)＝0，故对任意的x∈(－∞，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 题型二 函数的周期性(重点保分题，共同探讨)
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对
任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)． [解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
方法感悟
函数周期性的判定与应用
1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．
2．应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【针对补偿】
2．(2018·烟台模拟)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)
??x?1－x?，0≤x≤1，29??41?＝?则f??4?＋f?6?＝ ________ . ?sin πx，1＜x≤2，?
29??41??37
2×4－?＋f?2×4－?[解析] 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f?＋f＝f4??6??4??6??3737315
－?＋f?－?＝－f??－f??＝－＋＝. ＝f??4??6??4??6?16216
[答案]
5
16
3．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上f(x)＝x＋a， －1≤x＜0，??
??2?
－x， 0≤x＜1，???5?
59
－?＝f??，则f(5a)的值是__________． 其中a∈R，若f??2??2?[解析] 因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得 5111
－?＝f?－2－?＝f?－?＝－＋a， f?2??2??2??29??1??1??21?1f??2?＝f?4＋2?＝f?2?＝?5－2?＝10. 59
－?＝f??， 由f??2??2?113得－＋a＝，解得a＝.
2105所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)
32
＝－1＋＝－.
552
[答案] － 5
题型三 函数性质的综合应用(高频考点题，多角突破) 考向一 单调性与奇偶性结合
1．(2017·课标Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] C．[0,4]
B．[－1,1] D．[1,3]
[解析] 因为f(x)为奇函数且在(－∞，＋∞)单调递减，要使－1≤f(x)≤1成立，则x满足－1≤x≤1，从而由－1≤x－2≤1得1≤x≤3，即满足－1≤f(x－2)≤1成立的x的取值范围为[1,3]，选D.
[答案] D
考向二 周期性与奇偶性结合
2．(2016·山东理)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，111
x＋?＝f?x－? .则f(6)＝( ) f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f??2??2?2
A．－2 C．0
B．－1 D．2
1111x＋?＝f?x－?，[解析] 当x＞时，f?所以当x＞时，函数f(x)是周期为1的周期函数，?2??2?22所以f(6)＝f(1)，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－[?－1?3－1]＝2，故选D.
[答案] D
考向三 单调性、奇偶性与周期性结合
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[解析] 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)， 因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
[答案] D
方法感悟
函数基本性质综合应用的常见题型及求解策略 题型 函数单调性与奇偶性结合 周期性与奇偶性结合 周期性、奇偶性与单调性结合 【针对补偿】 2－x
4．(2018·河北省唐山市二模)函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围
x＋1是( )
A．(1,2) C．[1,2)
B．(－1,2) D．[－1,2)
求解策略 注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解 2－x3
[解析] 因为f(x)＝y＝＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，所以n
x＋1x＋1＝2，－1≤m＜2；故选D.
[答案] D
5．(2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)2a－3
＝，则实数a的取值范围为( ) a＋1
A．(－1,4) C．(－1,0)
B．(－2,0) D．(－1,2)
[解析] ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
2a－32a－3a－4
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝，∴＜1，即＜0，解得
a＋1a＋1a＋1－1＜a＜4，故选A.
[答案] A
2??x＋1，x≥0，
6．已知函数f(x)＝?则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是
?1，x＜0，?
________ .
2??x＋1，x≥0，
[解析] 画出f(x)＝?的图象，
?1，x＜0，?
2??1－x＞0，
由图象可知，若f(1－x2)＞f(2x)，则?
?1－x2＞2x，?
?－1＜x＜1，
即? ?－1－2＜x＜－1＋2，
得x∈(－1，2－1)． [答案] (－1，2－1)
◆牛刀小试·成功靠岸◆
课堂达标(六)
[A基础巩固练]
1．(2018·北京市东城区二模)下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝x＋cos x C．y＝x
[解析] A和C为非奇非偶函数，y＝e
－|x|
B．y＝x＋sin x D．y＝e
－|x|
为偶函数，令f(x)＝x＋sin x，定义域为R，f(－
x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，故y＝x＋sin x为奇函数，故选B.
[答案] B
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 C．1
B．－1 D．3
[解析] 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.故选C.
[答案] C
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
