x2+x?x<0?,??
(3)f(x)=?0?x=0?,
??-x2+x?x>0?.
1+x
[解] (1)由≥0得函数的定义域为[-1,1),关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶
1-x函数.
?1-x2>0,?(2)由?2
?|x-2|-2≠0?
得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1), lg?1-x2?lg?1-x2?所以f(x)==-.
x2-?x2-2?-2
lg[1-?-x?2]lg?1-x2?
因为f(-x)=-=-=f(x),
x2?-x?2所以f(x)为偶函数. (3)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x). 又f(0)=0,故对任意的x∈(-∞,+∞), 都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 题型二 函数的周期性(重点保分题,共同探讨)
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对
任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018). [解] (1)证明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=f(0)+f(1)+f(2)=1.
方法感悟
函数周期性的判定与应用
1.判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可.
2.应用:根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
【针对补偿】
2.(2018·烟台模拟)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)
??x?1-x?,0≤x≤1,29??41?=?则f??4?+f?6?= ________ . ?sin πx,1<x≤2,?
29??41??37
2×4-?+f?2×4-?[解析] 由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f?+f=f4??6??4??6??3737315
-?+f?-?=-f??-f??=-+=. =f??4??6??4??6?16216
[答案]
5
16
3.(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上f(x)=x+a, -1≤x<0,??
??2?
-x, 0≤x<1,???5?
59
-?=f??,则f(5a)的值是__________. 其中a∈R,若f??2??2?[解析] 因为函数f(x)的周期为2,结合在[-1,1)上f(x)的解析式,得 5111
-?=f?-2-?=f?-?=-+a, f?2??2??2??29??1??1??21?1f??2?=f?4+2?=f?2?=?5-2?=10. 59
-?=f??, 由f??2??2?113得-+a=,解得a=.
2105所以f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)
32
=-1+=-.
552
[答案] - 5
题型三 函数性质的综合应用(高频考点题,多角突破) 考向一 单调性与奇偶性结合
1.(2017·课标Ⅰ)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] C.[0,4]
B.[-1,1] D.[1,3]
[解析] 因为f(x)为奇函数且在(-∞,+∞)单调递减,要使-1≤f(x)≤1成立,则x满足-1≤x≤1,从而由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即满足-1≤f(x-2)≤1成立的x的取值范围为[1,3],选D.
[答案] D
考向二 周期性与奇偶性结合
2.(2016·山东理)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,111
x+?=f?x-? .则f(6)=( ) f(-x)=-f(x);当x>时,f??2??2?2
A.-2 C.0
B.-1 D.2
1111x+?=f?x-?,[解析] 当x>时,f?所以当x>时,函数f(x)是周期为1的周期函数,?2??2?22所以f(6)=f(1),又因为函数f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-[?-1?3-1]=2,故选D.
[答案] D
考向三 单调性、奇偶性与周期性结合
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)
[解析] 因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),
所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1), 因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).
[答案] D
方法感悟
函数基本性质综合应用的常见题型及求解策略 题型 函数单调性与奇偶性结合 周期性与奇偶性结合 周期性、奇偶性与单调性结合 【针对补偿】 2-x
4.(2018·河北省唐山市二模)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围
x+1是( )
A.(1,2) C.[1,2)
B.(-1,2) D.[-1,2)
求解策略 注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性 此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解 2-x3
[解析] 因为f(x)=y==-1+在(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n
x+1x+1=2,-1≤m<2;故选D.
[答案] D
5.(2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)2a-3
=,则实数a的取值范围为( ) a+1
A.(-1,4) C.(-1,0)
B.(-2,0) D.(-1,2)
[解析] ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,
2a-32a-3a-4
∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,解得
a+1a+1a+1-1<a<4,故选A.
[答案] A
2??x+1,x≥0,
6.已知函数f(x)=?则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是
?1,x<0,?
________ .
2??x+1,x≥0,
[解析] 画出f(x)=?的图象,
?1,x<0,?
2??1-x>0,
由图象可知,若f(1-x2)>f(2x),则?
?1-x2>2x,?
?-1<x<1,
即? ?-1-2<x<-1+2,
得x∈(-1,2-1). [答案] (-1,2-1)
◆牛刀小试·成功靠岸◆
课堂达标(六)
[A基础巩固练]
1.(2018·北京市东城区二模)下列函数中为奇函数的是( ) A.y=x+cos x C.y=x
[解析] A和C为非奇非偶函数,y=e
-|x|
B.y=x+sin x D.y=e
-|x|
为偶函数,令f(x)=x+sin x,定义域为R,f(-
x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),故y=x+sin x为奇函数,故选B.
[答案] B
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )
A.-3 C.1
B.-1 D.3
[解析] 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.故选C.
[答案] C
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
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