函数的奇偶性与周期性
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 常见题型 多以选择、填空题形式出现,且奇偶性多2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 与单调性相结合,周期性多与抽象函数相3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、结合,或结合奇偶性求函数值为主,占4~应用简单函数的周期性. 5分,中档题为主.
[知识梳理]
1.函数的奇偶性 定义域 定义 x f(x)与f(-x)的关系 结论 图象特征 2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数,那么这个 最小 正数就叫作f(x)的最小正周期.
函数f(x)为奇函数 关于 原点 对称 奇函数 偶函数 函数f(x)的定义域关于 原点 对称 对于定义域内的 任意 一个x 都有f(-x) = -f(x) 都有f(-x)= f(x) 函数f(x)为偶函数 关于 y轴 对称 [知识感悟]
1.辨明三个易误点
(1)应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内.
(2)判断函数的奇偶性,易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(3)判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x使f(-x)=-f(x),对于偶函数的判断以此类推.
2.活用周期性三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)f(x+a)=f(x-a),则T=2a; (2)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; (3)若f(x+a)=
1
,则T=2a; f?x?
1
(4)若f(x+a)=-,则T=2a.
f?x?3.奇、偶函数的三个性质
(1)在奇、偶函数的定义中,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.
(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
[知识自测]
1.给出下列命题:
①函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.
②若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ③若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. ④函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 016)=2 016. 其中正确的是( ) A.①② C.②③
B.①③ D.③④
[解析] ①错误.因为函数f(x)=0的定义域x∈(0,+∞)没有关于原点对称,所以f(x)=0,x∈(0,+∞)既不是奇函数又不是偶函数.②正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.③正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.④错误有已知条件可知f(2 016)=0.故选C.
[答案] C
1?x
2.(2017·北京)已知函数f(x)=3x-??3?,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数
1?-x?1?x-xx[解析] f(-x)=3x-?=-3=-f(x),所以函数是奇函数,并且3是增函数,33????
?1?x是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选A. ?3?[答案] A
3.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,5
-?+f(2)= ________ . 则f??2?[解析] ∵f(x)为定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,
1?1又0<x<1时,f(x)=4x,∴f??2?=42=2,
551
-?+f(2)=-f??+f(2)=-f??+f(0)=-2+0=-2. ∴f??2??2??2?[答案] -2
题型一 函数的奇偶性(基础拿分题·自主练透)
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3-x2+x2-3; (2)f(x)=xlg(x+x2+1);
2??-x+2x+1 ?x>0?,
(3)f(x)=?2
?x+2x-1 ?x<0?;?
4-x2
(4)f(x)=.
|x+3|-3
2??3-x≥0,
[解] (1)由?2
?x-3≥0,?
得x2=3,解得x=±3,
即函数f(x)的定义域为{-3,3}, 从而f(x)=3-x2+x2-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x). ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵x2+1>|x|≥0,
∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)lg(-x+?-x?2+1) =-xlg(x2+1-x)=xlg(x2+1+x)=f(x). 即f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).
∴f(-x)=-f(x), 即函数是奇函数.
2??4-x≥0,
(4)∵??-2≤x≤2且x≠0,
?|x+3|≠3?
∴函数的定义域关于原点对称. 4-x24-x2
∴f(x)==,
xx+3-34-?-x?24-x2
又f(-x)==-,
x-x∴f(-x)=-f(x), 即函数是奇函数.
方法感悟
判断函数的奇偶性的三种重要方法 1.定义法:
2.图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.
3.性质法:对于定义在同一关于原点对称的区间上的两个函数,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数.
【针对补偿】
1.判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-1)
1+x; 1-x
lg?1-x2?
(2)f(x)=2;
|x-2|-2
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)