函数的奇偶性与周期性
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最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 常见题型 多以选择、填空题形式出现，且奇偶性多2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 与单调性相结合，周期性多与抽象函数相3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、结合，或结合奇偶性求函数值为主，占4～应用简单函数的周期性. 5分，中档题为主.
[知识梳理]
1．函数的奇偶性 定义域 定义 x f(x)与f(－x)的关系 结论 图象特征 2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小 正数就叫作f(x)的最小正周期．
函数f(x)为奇函数 关于 原点 对称 奇函数 偶函数 函数f(x)的定义域关于 原点 对称 对于定义域内的 任意 一个x 都有f(－x) ＝ －f(x) 都有f(－x)＝ f(x) 函数f(x)为偶函数 关于 y轴 对称 [知识感悟]
1．辨明三个易误点
(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x使f(－x)＝－f(x)，对于偶函数的判断以此类推．
2．活用周期性三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2a； f?x?
1
(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.
f?x?3．奇、偶函数的三个性质
(1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[知识自测]
1．给出下列命题：
①函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．
②若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ④函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 016)＝2 016. 其中正确的是( ) A．①② C．②③
B．①③ D．③④
[解析] ①错误．因为函数f(x)＝0的定义域x∈(0，＋∞)没有关于原点对称，所以f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既不是奇函数又不是偶函数．②正确．函数y＝f(x＋a)关于直线x＝0对称，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．③正确．函数y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．④错误有已知条件可知f(2 016)＝0.故选C.
[答案] C
1?x
2．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－??3?，则f(x)( ) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
1?－x?1?x－xx[解析] f(－x)＝3x－?＝－3＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3是增函数，33????
?1?x是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，所以函数是增函数，故选A. ?3?[答案] A
3．(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，5
－?＋f(2)＝ ________ . 则f??2?[解析] ∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，
1?1又0＜x＜1时，f(x)＝4x，∴f??2?＝42＝2，
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－?＋f(2)＝－f??＋f(2)＝－f??＋f(0)＝－2＋0＝－2. ∴f??2??2??2?[答案] －2
题型一 函数的奇偶性(基础拿分题·自主练透)
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝xlg(x＋x2＋1)；
2??－x＋2x＋1 ?x＞0?，
(3)f(x)＝?2
?x＋2x－1 ?x＜0?；?
4－x2
(4)f(x)＝.
|x＋3|－3
2??3－x≥0，
[解] (1)由?2
?x－3≥0，?
得x2＝3，解得x＝±3，
即函数f(x)的定义域为{－3，3}， 从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)． ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)∵x2＋1＞|x|≥0，
∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)lg(－x＋?－x?2＋1) ＝－xlg(x2＋1－x)＝xlg(x2＋1＋x)＝f(x)． 即f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)， 即函数是奇函数．
2??4－x≥0，
(4)∵??－2≤x≤2且x≠0，
?|x＋3|≠3?
∴函数的定义域关于原点对称． 4－x24－x2
∴f(x)＝＝，
xx＋3－34－?－x?24－x2
又f(－x)＝＝－，
x－x∴f(－x)＝－f(x)， 即函数是奇函数．
方法感悟
判断函数的奇偶性的三种重要方法 1．定义法：
2．图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．
3．性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的两个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数．
【针对补偿】
1．判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1)
1＋x； 1－x
lg?1－x2?
(2)f(x)＝2；
|x－2|－2
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
