?2?naasin(x?), x???a22 ?(x)??aa?0, x??2?
4．证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径）。 证：1s: ?(r)10dr?R10r2dr
213)?4e?2r/a0?r2dr a01 ?10(r)?()3?4r2e?2r/a0
a0d?12 10?4()3?(2r?r2)e?2r/a0
dra0a011 ?8()3?(1?r)re?2r/a0
a0a0d?令 10?0，则得
dr r11?0 r11?a0 ?(d2?10132?rr?2r/a0 ?8()?[(1?r)?(1?)e]
a0a0a0a0dr2134r2r2?2r/a0 ?8()?(1??2)e]
a0a0a0d2?10
dr2d2?10
dr2?0 ∴r11?0为几率最小处。
r11?0?0 ∴r11?a0为几率最大处。
r11?a0 2p: ?21(r)dr?R21r2dr
213r2?r/a02 ?()?2e?rdr
2a03a013r2?r/a0 ?21(r)?( )?2e2a03a0d?2111 ??(4?r)r3e?r/a0 5dra024a0
d2?2118r22?r/a0 ?(1?r?）re] 252a0dr24a0a0d?21?0，则得 令 dr r21?0 r22?4a0
d2?21
dr2?0 ∴ r22?4a0为最大几率位置。
r22?4a0 当 0?r?4a0时，
d2?10?0 ∴r?0为几率最小位置。 2dr 3d: ?32(r)?R322?86?re3a0 798415a02r2rd?3282r5?3a0?(5?)re 7dr3a098415a0d?32?0，得 令 dr r31?0, r32?9a0
同理可知 r31?0为几率最小处。
r32?9a0为几率最大处。
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
1??x? 解：?1(x)??2?xe2
2?2?32??x2 ?1(x)??1(x)? xe?d?14?3 ?(x??2x3)e??x
dx?4?3 ?(1??2x2)xe??x
?d2?14?3 ?(1?5?2x2?2?4x4)e??2dx?d?1222222222x2
令
dx?0，得
x1?0，x2??1?????x0 2??0d2?1
dx2?0， ∴ x1?0为几率最小处。
x1?0d2?1
dx2x2??12?0， ∴ x2??1??x0为几率最大处。 21e?ra0 6．设氢原子处在?(r,?,?)??a30的态（a0为第一玻尔轨道半径），求
①r的平均值；
e2 ②势能?的平均值。
r?2r?1?2?a03 解：①r??redrsin? d?d? ??0?a3000aa1 ?3?3?2?1?(0)3?(0)?4?
22?a03 ?a0
2??es212??e?3?4??rea0dr ②?0r?a02res2aa ??3?4?(0)?(0)
22a0es2
??
a0
7．粒子在势能为
当x?0?U1, ?U??0, 当0?x?a ?U, 当x?a?2的场中运动。证明对于能量E?U1?U2的状态，其能量由下式决定：
?k?k ka?n??sin?1 ?2?U12?U22?E） ?2 证：方程
?2d2?I Ⅰ：??U1?I?E?II (x?0) 22?dx （其中k??2 Ⅱ：?2??2 Ⅲ：?2?d2?II?0?II?E?II (?0x?A) 2dxd2?III?U2?III?E?III (x?0) 2dx2?E2?(U2?E)2?(U1?E)令 ???2, k??2, ???2则得
Ⅰ：d2?Idx2??2?I?0 Ⅱ： d2?IIdx2?k2?II?0 Ⅲ： d2?IIIdx2??2?III?0 其通解为
??xI?C1e?D??x1e ?II?Asin(kx??)
?III?C?x2e?Dx2e?? 利用标准条件，由有限性知 x —? ?, ?I — 0,D1?0 x ? ??, ?III ?0,C2?0
∴ ??xI?C1e ?II?Asin(kx??) ?III?D2e??x 由连续性知
?I(0)??II(0)?C1?Asin? ??I(0)???II(0)??C1?kAcos? ?II(a)??III(a)?Asin(kx??)?D?x2e? ??(a)???III(a)?kAcos(kx??)???DxII2e?? 由①、②，得
tg??k? 由③、④，得
tg(ka??)??k? 而tg(ka??)?tgka?tg?1?tgka?tg?
把⑤、⑥代入，得tgka?tg?k1?tgka?tg????
, ①
② ③ ④ ⑤⑥
k 整理，得 ?tgka?
?1??tg?k
tg?k? tg(n??ka)?k?1??tg?k
tg??令 tg???
k tg(n??ka)??1??tg?k?tg(???) tg?? ∴ n??ka???? ka?n?????
tgx 由sinx?，得
21?tgxkk?k? sin?? ??22k2?U2??k1?()2?k sin???k1?()2?k??k22??k2?U1
ka?n??sin?1
??k?k ### ?sin?12?U12?U2第三章 力学量的算符表示
1、2（略）。
dd)x]2??[x]?? dxdxdddd 解：原式?[()x][()x]??[x][x]?
dxdxdxdxdd ?[()x][sinx?xcosx]??[x][xcosx]?
dxdx 3．设波函数?(x)?sinx，求[(
量子力学 第三章习题与解答
