W32(r)?r2R32
?W32?r11r6e?r/3a072a81?15
82r?2r/3a05?2r(6?)e73a081?15a02??W32?0 ?r1?0, r2??, r3?9a0 ?r 易见 ，当?r1?0, r2??时，W32?0为几率最小位置。
令
?2W32164r52r6?2r/3a02 ?2(15r??2)e7a09a0?r281?15a0?2W32?r2236a02?81a014?2(9a0)(15??)e?672a081?15a09a0
r?9a016?6e?035a0 ∴ r?9a0为几率最大位置，即在r?9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。
张 P.74 21 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
)?0, x?0 (在金属内部 U(x)??
)?U0, x?0 (在金属外部 其中 U0?0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为?，方向沿χ轴负向，则总势能为
(x?0)， V(x)??e? x V（x）?U0?e? x （ x?0） 势能曲线如图所示。则透射系数为
2x1??2?(U0?e? x?E)dx] D?exp[?x2式中E为电子能量。x1?0，x2由下式确定
?? p?2?(U0?e? x?E)?0
U0?E e?U?Esin2?，则有 令 x?0e?
∴ x2??x1x22?(U0?e? x?E)dx??2?02?(U0?E)?2?U0?E2sin2? d?e?U0?Ecos3?2?(U0?E)(?) ?2e?30 ?2U0?E2?(U0?E)3e?
? ∴透射系数D?exp[2U0?E2?(U0?E)]
3?e?
27/9 全是补充题：
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
2n2d2 ① 4x； ② ?? ； ③ ? 2dxK?122d 解：①4x是线性算符 dx22222d2d2d? 4x(c1u1?c2u2)?4x(c1u1)?4x(c2u2)222dxdxdx 22dd ?c1?4x22u1?c2?4x22u2dxdx ②?? 2不是线性算符
2222? [c1u1?c2u2]2?c1u1?2c1c2u1u2?c2u2 22 ?c1[u1]?c2[u2] ③?是线性算符
?c1u1?c2u2??c1u1??c2u2?c1?u1?c2?u2
K?1K?1K?1K?1K?1K?1nNNNNn
2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 ddd2 i， 42 ，dxdxdx??dd解： ??*? dx??*? ??-????dx?*? dx??dx当 x???，??0，??0 ? ??*?d?dd? dx????*? dx???(?)*? dx
????dx??dxdx?d ??(?)*? dx??dxd? 不是厄米算符dx??dd? ??*i? dx?i?*? -??i??*? dx????dxdx??dd ??i?(?)*? dx??(i?)*? dx
??dx??dxd?i是厄米算符dx??d?*d?d2d?? ?*4? dx?4?* ?4 dx-?????2??dxdxdxdx?2?d?*d?*d?d?* ??4? dx?4??4 ?? dx??dxdx??dx2dx?
??4?d?*? dx???dx2?2????(4d?)*? dx2dx2
d2?42是厄米算符dxd23、下列函数哪些是算符2的本征函数，其本征值是什么？
dx ①x2， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
d2 解：①2(x2)?2
dxd22 ∴ x不是2的本征函数。
dxd2x ② 2e?ex
dxd2x ∴ e不是2的本征函数，其对应的本征值为1。
dxd2d(cosx)??sinx ③2(sinx)?dxdxd2∴ 可见，sinx是2的本征函数，其对应的本征值为－1。
dxd2d(?3sinx)??3cosx?(3cosx) ④2(3cosx)?dxdxd2 ∴ 3cosx 是2的本征函数，其对应的本征值为－1。
dxd2d(sinx?cosx)?(cosx?sinx）??sinx?cosx ⑤dx2 dx??(sinx?cosx)d2 ∴ sinx?cosx是2的本征函数，其对应的本征值为－1。
dx
???ieixd的本征函数。 4．试求算符Fdx?的本征方程为 解：F???F? Fd即 ?ieix?F?dxd?dd?iFeixdx??d(Feix)?d(?Feix) ?dxdxdln???Feix?lncdx?ix?是F的本征值） ??ce?Fe（F
第二章 薛定格方程
3．如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
a?0, x???2 解： U(x)??
a??, x??2? 方程（分区域）：
a Ⅰ：U(x)?? ∴ ?I(x)?0 (x??)
2a Ⅲ：U(x)?? ∴ ?III(x)?0 (x?)
2?2d2?II Ⅱ：??E?II
2?dx2d2?II2?E?2?II?0
dx2?2?E令 k2?2
?d2?II2?k?II?0 2dx ?II?Asin(kx??)
aa??(?)??(?)II?I22 标准条件：?aa??II()??III()22? ∴ Asin(?kx??)?0 ∵ A?0
?kx??)?0 ∴ sin(aa取 ??k?0， 即 ??k
22a ∴ ?II(x)?Asink(x?)
2 Asinka?0 ? sinka?0
∴ ka?n? (n?1, 2, ?)
? k?n
a?na?Asin(x?), x???a2 ∴ 粒子的波函数为 ?(x)???0, x????22n2?2k2 粒子的能级为E? (n?1, 2, 3, ?) k?2?2?a由归一化条件，得
?a/2n?a2(x?)dx 1???(x)d??A2?sin2???a/2a2a/212n?a[1?cos(x?)]dx ?A2??a/22a2a/2a2n?a(x?)dx ?A2??A2?cos?a/22a2 ? ?a2a2n?aA?A2?sin(x?) 22n?a2?a2a2a2 a2a2A 22 ∴ A?
a ∴ 粒子的归一化波函数为
量子力学 第三章习题与解答
