3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
??, r?a; U(r)??
0, r?a?求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为
?21d2d? ?(r)?E?
2?rdrdr2?E 令 U(r)?rE?, k2?2，得
?d2u 2?k2u?0
dr其通解为
u(r)?Acoskr?Bsinkr AB???(r)?coskr?sinkrrr波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则 A = 0
B ∴ ?(r)?sinkr
r 由波函数的连续性条件，有
B ?(a)?0 ? sinka?0
a(n?1,2,?) ∵B?0 ∴ka?n? n? k?an2?22? ∴ En?
2?a2Bn?r ?(r)?sinra其中B为归一化，由归一化条件得
1?
n?2?4???Bsinrdr?2? aB0a1 ∴ B?
2? a ∴ 归一化的波函数
n?sinr1a ?(r)? # 2? ar
a22??0d????0d???a0?(r)r2sin? dr23.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2?? 解： p?0
522k? 4?1 x??A2x[sin2kx?coskx]2dx?0
??2?1 x2??A2x2[sin2kx?coskx]2dx??
??2 p2?2? T? (?x)2?(?p)2?(x2?x)?(p2?p)??
3.12.粒子处于状态
11/2ix2 ?(x)?()exp[p0x?2]
?2??24?式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2??
解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得 1?? ??2212??2??ex2? 22?dx?12?2?????e? (x2?2)2d(x2?2)
12??2?2?1 ∴?2? /
2? ∴ 是归一化的
i? ?(x)?exp[p0x?x2]
?2 ② 动量平均值为
i?i?? p0x? x2 p0x? x2??di22( p0?? x)e?dx p???*(?i?)?dx??i??e?????dx???(12)1/2
?2i ??i??( p0?? x)e ??xdx
??? ?p0?e??? ??x2dx?i? ??xe ??xdx
???2 ?p0
③ (?x)2?(?p)2??
x???*x?dx??xe ??xdx （奇被积函数）
??????221dx??xe??x2? x?2????xe2 ??x2????12?????e ??xdx
2 ??221 2??ii2? p0x??x2dp0x??x2?d22?? p?????*? dx????ee dx
????dxdx2??22p02)?i2??p0?xe??xdx??2?2?x2e??x dx ??(???????2p1?2?(?2?p0) ??2(??0)?0?(??2?2)?2?22122(?x)?x?x?
2?2??2222)?p0??2 (?p)?p?p?(?2?p0221?212???? (?x)2?(?p)2?2?24#
11/10 补充
??U?的本征函?或U?的本征函数，而是T 1．试以基态氢原子为例证明：?不是T数。
113/2?r/a01? es2 解：?100?()2e (?2)
aa0?4?0?21?2?1?1?2?T??[(r)?(sin?)?]2?r2?r?rsin???sin2???22e???sUr
??T100?21?2??100??(r)22?r?r?r
?2113/21?2??r/a0 ??()?2(re)2??a0?r?rr?2113/212?r/a0?212 ??()(2?)e??(2?)?1002??a02?a0a0ra0a0r ?常数??100?的本征函数 ?100不是 T2e????s? U100100r?的本征函数 可见，?100不是U
?2113/212?r/a0es2??而 (T?U)?100??()(2?)e??1002??a0ra0a0r?21?2?2 ???100????22?a0?a0r100?a0r100?21 ???10022?a0??U?)的本征函数。 可见，?是(T100
2．证明：L?6?，L???的氢原子中的电子，在??45?和 135?的方向上被发现的几率最大。
解： ?W?m(?,?)d??Y?md? ∴ W?m(?,?)?Y?m
L?6?，L???的电子，其??2, m??1
2215? Y21(?,?)??sin?cos? ei?8?
15 Y2?1(?,?)??sin?cos? e?i?8?15152sin2?cos2??sin22? ∴W2?1(?,?)?Y?m?8?32?当??45?和 135?时
15为最大值。即在??45?，??135?方向发现电子的几率最大。 32?15 在其它方向发现电子的几率密度均在0～之间。
32?
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。
W2?1? 证：①对1s态，n?1, ??0, R10?(2W10(r)?r2R10(r)?(13/2?r/a0 )ea0
?W101322?2r/a0?()4(2r?r)e?ra0a0?W10?0 ?r1?0, r2??, r3?a0 令 ?r 易见 ，当?r1?0, r2??时，W10?0不是最大值。
132?2r/a0)4rea04?2e为最大值，所以处于1s态的电子在 r?a0处被发现的几率最大。 a013/2r ②对2p态的电子n?2, ??1, R21?()e?r/2a0
2a03a0 W10(a0)?W21(r)?rR21
2213r42?r/a0?()re22a03a0?W211r?r/a03?r(4?)e5?ra024a0
?W21?0 ?r1?0, r2??, r3?4a0 令 ?r 易见 ，当?r1?0, r2??时，W21?0为最小值。
?2W2118rr2?r/a02 ?r(12??2)e25a0a0?r24a0?2W21
?r2?r?4a018?42?4?16a(12?32?16)e??e?0 05324a03a0 ∴ r?4a0为几率最大位置，即在r?4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。 ③对于3d态的电子 n?3, ??2, R32?(23/21r)()2e?r/3a0 a08115a0
量子力学 第三章习题与解答
