L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，
2I求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z
221?d2????? 哈米顿算符 H LZ2I2Id?2?与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H
?2d2??(?)?E?(?)22Id?2d?(?)2IE ???(?)22d??2IE 令 m2?2，则
?d2?(?) ?m2?(?)?0 2d? 取其解为 ?(?)?Aeim? (m可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有
?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim? 即 ei2m??1
∴m= 0，±1，±2，…
m2?2转子的定态能量为Em? (m= 0，±1，±2，…)
2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?m?Aeim?
A为归一化常数，由归一化条件
1?A?2? ∴ 转子的归一化波函数为
1im? ?m?e
2? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
* 1???m?md??A2?d??A22?002?2?
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
??1L?2 H2I?与t无关，属定态问题，其本征方程为 H1?2LY(?,?)?EY(?,?) 2I?的本征函数，E为其本征值) (式中Y(?,?)设为H?2Y(?,?)?2IEY(?,?) L 令 2IE???2，则有
?2Y(?,?)???2Y(?,?) L?2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Y?m(?,?)?N?mP?m(cos?)eim?
∴ 转子的定态能量为
?(??1)?2 E??2I 可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。 #
3.6 设t=0时，粒子的状态为 ?(x)?A[sin2kx?1 2coskx]求此时粒子的平均动量和平均动能。
1解：?(x)?A[sin2kx?1 [12coskx]?A2(1?cos2kx)?2coskx]A[1?cos2kx?coskx] 2Ai2kxikx?e?i2kx)?1?e?ikx)] ?[1?12(e2(e2A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1 ? [e?2e?2e?2e?2e]?22??2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 ?2pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 动能的可能值为0 2???2?2?A2A2A2A2A2 )?2?? 对应的几率?n应为 ( 41616161611111 )?A2?? ( 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
A2A2A2 1???n?(?4?)?2????2??
4162n ∴ A?1/??
∴ 动量p的平均值为
p??pn?n
nA2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???0161616162pnp2 T????n
2?n2?2k2?21k2?21 ?0???2???2
?82?85k2?2 ?
8? # ********shangshuyihe******* 3.7 一维运动粒子的状态是
?Axe??x, 当x?0 ?(x)??
0, 当x?0?其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由 1???(x)dx??A2x2e?2?xdx
??0?2?
?14?3 ∴A?2?3/2
?(x)?2?3/2xe?2?x (x?0) ?(x)?0 (x?0)
??111/2 c(p)??e?ikx?(x)dx?()?2?3/2?xe?(??ik)x?(x)dx
????2??2????2?31/2x1?(??ik)x)[?e?(??ik)x?edx ?(?0??2????ik??ik2?31/2x2?31/21)??() ?(
p22??2??(??ik)2(??i)? 动量几率分布函数为
2?312?3?312 ?(p)?c(p)? ???2p22?(?2?2?p2)2(??2)?A2
??(x)dx??i??4?3xe??x (2) p???*(x)p??????d??x(e)dx dx ??i?4???x(1??x)e?2?xdx
3? ??i?4?3??(x??x2)e?2?xdx
????? ??i?4?3?(14?2?14?2)
?0 #
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?a a? 0, x?0, x?a?n2?2?2 2， 3， ?) En? (n?1，22?a 动量的几率分布函数为?(E)?Cn
n?x?(x)dx ???0a 先把?(x)归一化，由归一化条件，
2 Cn???*(x)?(x)dx??sin2a22a 1???(x)dx??Ax(a?x)dx?A??0?2?a0x2(a2?2ax?x2)dx
?A2?(a2x2?2ax3?x4)dx
05a5a5a52a?)?A ?A(? 3253030 ∴A? 5aa230n? ∴ Cn???sinx?x(a?x)dx 50aaaaa215n?n?2[axsinxdx?xsinxdx] ???300aaa2a
215a2n?a3n?a2n??[?xcosx?sinx?xcosxn?aan?aa3n2?2 ?2an?2an?xsinx?cosx]aan2?2n3?3023a
415n[1?(?1)] 33n?2402 ∴ ?(E)?Cn?66[1?(?1)n]2
n??960 3， 5， ??66，n?1， ??n?
?0，n?2, 4, 6, ?? ?2?p??(x)dx??(x)?(x)dx E???(x)H?0??2?a30?2d2 ??5x(x?a)?[?x(x?a)]dx 20a2?dx30?2a30?2a3a3 ?x(x?a)dx?(?) 5?0523?a?a?a5?2
? 2
?a
3.9.设氢原子处于状态
13 ?(r,?,?)?R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)
22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
?es2?es2 E2??22??2 (n?2)
2?n8? 角动量平方有确定值为
L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2??? 其相应的几率分别为
13 ，
44 其平均值为
133 LZ??0??????
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量子力学 第三章习题与解答
