2017 年温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案
2017 年温州市重点中学自主招生模拟试题
数学试卷
（考试时间
120 分钟，满分 150 分）
一. 选择题（每题 5 分，共 50 分） 1. 下列数中不属于有理数的是（
） 1
B.
A.1
2
C.
2 2
D.0.1113
2. 如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，
刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为
y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D.
1、4、9、16 ,
这样的数称为
3. 如果把 1、3、6、10 ,
“正
这样的数称为“三角形数”，而把
方形数”．从图中可以发现，任何一个大于
形
1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角
数”之和．下列等式中， 符合这一规律的是（ A、 13 = 3+10 C、 49 = 18+31
4. a、b、c 均不为 0，若
）
B、 25 = 9+16 D、 36 = 15+21
x y y
a
b
B 、第二象限
z
z x
c
abc 0 ，则 p(ab, bc) 不可能在（
）
A 、第一象限 C、第三象限
的圆心是（ 2， a）（ a＞ 2），
D 、第四象限
5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P
半径为 2，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦 AB的长为 2 3 错误！未找到引用源。 则 a 的值是（
）
，
、 2 2 错误！未找到引用源。 A 未找到引用源。
、 2 B D 、 2
2 错误！未找到引用源。
C
、
错误！ 2 3+2
3
6. 如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90o，∠ A=30o， BC=2，将△ ABC绕
点 C 按顺时针方向旋转 n 度后，得到△ EDC，此时，点 D 在 AB边 上，斜边 DE交 AC边于点 F，则 n 的大小和图中阴影部分的面积 分别为（
）
A、 30， 2 B 、60， 2
C 、60，
3
D、60， 3
2
7. 如图一个长为 m、宽为 n 的长方形（ m＞ n）沿虚线剪开，
拼接成图 2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大 正方形，则去掉的小正方形的边长为（
）
A、
m n 2
B 、 m－ n
C 、
m
2
D 、
n
2
8. 抛物线 y A.1Ｂ. 2 9. 已知直线 y
x2 上有三点 P1、P2、P3，其横坐标分别为 t ，t +1，t +3，则△ P1P2P3 的面积为（ Ｃ. 3
Ｄ .4
y B
）． 4 x 8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A和点 B，M 是 3
OB 上的一点，若将△ ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的
M
点 B 处，则直线 AM 的函数解析式是 ( ) A. y
1
x
8 B.
y y
1
x
8
B/
O A x
2 3
C. y
1 x 3 D. 2 1 x 3
3
A、 C 两点处同时
10. 正五边形广场 ABCDE的边长为 80 米，甲、乙两个同学做游戏，分别从
出发，沿 A-B-C-D-E-A 的方向绕广场行走，
甲的速度为 50 米 / 分，乙的速度为 46 米/ 分， ）．
则两人第一次刚走到同一条边上时（
Ａ. 甲在顶点 A 处
Ｂ . 甲在顶点 B 处
C.甲在顶点 C 处 Ｄ . 甲在顶点 D处
二. 填空题（每题 6 分，共 36 分） 11. 分解因式： 2x
2
4 xy 2 y 2 =________________. 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y
k
(x 0, k 0 )
x
的图象经过点 A（ 1, 2 ）， B（ m ， n）（ m＞ 1），过点 B 作
y 轴的垂线 , 垂足为 C.若△ ABC面积为２，则点
B 的坐标
为________.
13. 如右图，是一回形图，其回形通道的宽和
1
2 OB的长均
O
为 1，回形线与射线 OA交于 A ，A ， A ，, ．若从
3
点到 A 点的回形线为第 1 圈（长为
1
7），从 A 点到 A
1
2
A
A3 A2A1
B
O
点的回形线为第 2 圈， , ，依次类推．则第 为
11 圈的长
．
14. 今有一副三角板（如图
1），中间各有一个直径为 4cm 的圆洞，现将三角板 a 的 30o角的
那一头插入三角板
b 的圆洞内（如图 2），则三角板 a 通过三角板 b 的圆洞的那一部分
2
的最大面积为
cm
（不计三角板的厚度，精确到 0.1cm 2）．
a
b
图 1
15. 如图，等腰梯形 MNPQ的上底长为 2，腰长为 3，一个底角
为 60°．正方形 ABCD的边长为 1，它的一边 AD 在 MN上，且顶点 A 与 M重合．现将正方形 ABCD在梯
形的外面沿边 MN、 NP、 PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶
点与 Q重合时，点 A 所经过的路线与梯形
MNPQ的三边
MN、 NP、 PQ所围成图形的面积是 ________． 16. 如图，在矩形 ABCD中， AB=2， BC=4，⊙D的半径为 1．
现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心
O
重合，绕着 O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D
切于点 H，此时两直角边与
AD交于 E， F 两点，则 tan EFO 的值为
． 三 . 解答题（共 6 小题，分别为 8,10,10,10,12 ，14 分，共 64 分） 17.设数列 ,,,,,,
112123
121321
, , 2 , , , ， k k
1 1
1k
问：（ 1）这个数列第 2010 项的值是多少？
（2）在这个数列中，第 2010 个值为 1 的项的序号是多少？
18. 如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD，⊙ O为内切圆， E 为切点， （Ⅰ）求 （Ⅱ）若 AO
D E
C
AOD 的度数；
O
8 cm， DO 6 cm，求
的长． A
B
OE
.
19. 请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且 使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形， 画出必要的示意图， 并附以简要的文字说明．
20. 某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的 80% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额 w（元）的范围 获得奖券的金额（元）
200≤ w＜ 400 30
400≤ w＜500 60
500≤ w＜700
100
700≤ w＜900 ,
130
,
根据上述促销方法， 顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
例如，购买价为 400 元的商
品，则消费金额为 320 元，获得的优惠为： 400× 0.2 ＋ 30 = 110 （元）。
设购买商品得到的优惠
购买商品获得的优惠额 率 .试问商品的标价
21. 已知：以原点
（ 1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（ 2）对于标价在 500≤ w＜ 800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不 小于 1
的优惠率。
3
O 为圆心、 5 为半径的半圆与 y 轴交于 A、G 两点， AB 与半圆相切于点 A， 点 B 的坐标为（ 3， y3
B）（如图 1）；过半圆上的点 C(xC， yC)作 y 轴的垂线，垂足为 D； Rt
△DOC 的面积等于
2
8 xC ．
（1）求点 C 的坐标；
（2）①命题“如图 2，以 y 轴为对称轴的等腰梯形
MNPQ 与 M1N1P1Q1 的上底和下底都分
别在同一条直线上， NP∥MQ ，PQ∥P1Q1 ，且 NP＞ MQ 设抛物线
2
a0x ＋ h0 过点
．
P、 Q，抛物线 y=a1x2＋h1 过点 P1、 Q1，则 h0＞ h1”是真命题．请你以 Q（ 3， 5）、P（ 4， 3）和 Q1（p， 5）、 P1(p+1， 3)为例进行验证；
②当图 1 中的线段 BC 在第一象限时，作线段
BC 关于 y 轴对称的线段 FE ，连接 BF 、
、 、
2
CE，点 T 是线段 BF 上的动点（如图 3）；设 K 是过 T B C 三点的抛物线
y=ax +bx+c
的顶点，求 y y
y
K 的纵坐标 yK 的取值范围．
B
M1 Q1 T
A
M
Q F
B
E
C
N N1
P1P
x
O x
O
x
O
G
图1
图2 图3
22. 已知：二次函数 y ax2 bx
c 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，
C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、 OC的长（ OB＜ OC）其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点
是
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