数列
一、 知识梳理
概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列?an?的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).
3.递推公式：如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an?f(an?1)或an?f(an?1,an?2)，那么这个式子叫做数列?an?的递推公式. 如数列?an?中，a1?1,an?2an?1，其中an?2an?1是数列?an?的递推公式.
?S1(n?1)4.数列的前n项和与通项的公式①Sn?a1?a2???an； ②an??.
?Sn?Sn?1(n?2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n?N②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1?an. ,均有an?1?an.
?③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数M使an?M,n?N?.
⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an?M. 等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an?a1?(n?1)d，a1为首项，d为公差. ⑵前n项和公式Sn?3.等差中项
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
即：A是a与b的等差中项?2A?a?b?a，A，b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：an?1?an?d（n?N?n(a1?an)2或Sn?na1?12n(n?1)d.
，d是常数）???an?是等差数列；
⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N5.等差数列的常用性质
)??an?是等差数列.
n⑴数列?an?是等差数列，则数列?an?p?、?pa?（p是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等差数列，公差为kd.
an?an?b(a,b是常数)；Sn?an⑶an?am?(n?m)d；
2?bn(a,b是常数，a?0)
⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；
?Sn?⑸若等差数列?an?的前n项和Sn，则??是等差数列；
n??
⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶?S奇?nd,S偶S奇?an?1an?；
当项数为2n?1(n?N?)，则S奇?S偶?an,S偶S奇n?1n.
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q?0)，这个数列叫做等比数 列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式：an?a1qn?1，a1为首项，q为公比 .
⑵前n项和公式：①当q?1时，Sn?na1
②当q?1时，Sn?3.等比中项
如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项?a，A，b成等差数列?G4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
an?1an22a1(1?q)1?qn?a1?anq1?q.
?a?b.
?q（n?N?，q?0是常数）?)且an?0??an?是等比数列； ?an?是等比数列.
⑵中项法：an?1?an?an?2(n?N5.等比数列的常用性质
⑴数列?an?是等比数列，则数列?pan??、?pan?（q?0是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等比数列，公比为q.
⑶an?am?qn?mk(n,m?N?)
p⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?a?aq；
⑸若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k是等比数列. 二、典型例题
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n；
2、等差数列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比数列，求数列?an?前20项的和S20． 3、设?an?是公比为正数的等比数列，若a1?1,a5?16，求数列?an?前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a6?100，则S11? ； 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和，3、设Sn是等差数列?aSnTn?7n?2n?3a5b5，则? .
?的前n项和，若na5a3?59,则S9S5?（ ）
4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若
SnTn?2n3n?1,则
anbn=（ ）
5、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，Sn?m,Sm?n(n?m)，则Sm?n? . 6、在正项等比数列?an?中，a1a5?2a3a5?a3a7?25，则a3?a5?_______。 7、已知数列?an?是等差数列，若 a4?a7?a10?17,a4?a5?a6?且ak?13,则k?_________。
8、已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n? . 9、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为（ ） 10、在等比数列中，已知a9?a10?a(a?0)，a19?a20?b，则a99?a100? . 11、已知?an?为等差数列，a15?8,a60?20，则a75? 12、等差数列?an?中，已知
S4S8?13,求S8S16.
?a12?a13?a14?77B、求数列通项公式
1） 给出前几项，求通项公式 1,0,1,0,……3，-33,333，-3333,33333…… 2）给出前n项和求通项公式 1、⑴Sn?2n21,3,6,10,15,21,?,
n
?3n； ⑵Sn?32?1.
n-12、设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…+33）给出递推公式求通项公式
an?n3(n?N)，求数列?an?的通项公式
*a、⑴已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
例：已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式； b、已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.an?例、已知数列?an?满足：c、构造新数列
1°递推关系形如“an?1?pananan?1?an?1an?2?an?2an?3???a3a2?a2a1?a1
anan?1?n?1n?1(n?2),a1?2，求求数列?an?的通项公式；
?q”，利用待定系数法求解
例、已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除pnn?1或待定系数法求解
例、
a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.
3°递推已知数列?an?中，关系形如“an?2?p?an?1?q?an”，利用待定系数法求解 例、已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求数列?an?的通项公式. （p,q?0),两边同除以anan?1 4°递推关系形如\an?pan?1?qanan?1（n?2),a1?2，求数列?an?的通项公式. 例1、已知数列?an?中，an?an?1?2anan?1例2、数列?an?中，a1?2,an?1?d、给出关于Sn和am的关系
2an4?an(n?N?)，求数列?an?的通项公式.
例1、设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3(n?N?)，设bn?Sn?3，
nn求数列?bn?的通项公式．
1??2例2、设Sn是数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?an?Sn??(n?2).
2??⑴求?an?的通项；
，求数列?bn?的前n项和Tn.
2n?1C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差
⑵设bn?例1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，bn?Snn(n?N?).求证：数列?bn?是等差数列.
12Sn例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1= 求证：{
1Sn.
}是等差数列；
2）证明数列等比
?1?例1、设{an}是等差数列，bn＝??，求证：数列{bn}是等比数列；
?2?例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列； 例3、已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?4an?2.
⑴设数列?bn?中，bn?an?1?2an，求证：?bn?是等比数列； ⑵设数列?cn?中，cn?an2nan，求证：?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式及前n项和.
n例4、设Sn为数列?an?的前n项和，已知ban?2⑴证明：当b?2时，?an?n?2⑵求?an?的通项公式
n?1??b?1?Sn
?是等比数列；
*例5、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N). ⑴证明：数列?an?1?an?是等比数列； ⑵求数列?an?的通项公式； ⑶若数列?bn?满足4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N),证明?bn?是等差数列.
*D、求数列的前n项和 基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法.
例1、求数列{2?2n?3}的前n项和Sn. 例2、求数列112482例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
，21，31，?，(n?1nn)，?的前n项和Sn.
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1n(n?k)?1k(1n?1n?k)；
n?1n?1?n?1?n；
例1、求和：S=1+
11?2?11?2?3???11?2?3???n
例2、求和：3）倒序相加法， 例、设f(x)?12?1x2?13?2?14?3???1n?1?n.
1?x2，求：
)?f(1)?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)； ⑴f(143211)?f(2009)???f(1)?f(1)?f(2)???f(2009)?f(2010). ⑵f(2010324）错位相减法，
例、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3，求此数列的前n项和Sn.
n5）对于数列等差和等比混合数列分组求和 2
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn. E、数列单调性最值问题
例1、数列?an?中，an?2n?49，当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时，n? . 例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?25,a4?16.当n为何值时，Sn取得最大值； 例3、数列?an?中，an?3n2?28n?1，求an取最小值时n的值.
例4、数列?an?中，an?n?n2?2，求数列?an?的最大项和最小项.
n例5、设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3，n?N． （Ⅰ）设bn?Sn?3，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．
例6、已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?3，SnSn?1?2an(n?2). ⑴求数列?an?的通项公式；
⑵数列?an?中是否存在正整数k，使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{an}中，前n项和Sn??（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?有Tn?1n(3?an)*n*14(an?1)，
2(n?N*)，Tn?b1?b2??bn，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均
m32总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10?1,显然3n+7不是它的通项. 正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
22 [例2] 已知数列?an?的前n项之和为① Sn?2n?n ② Sn?n?n?1
高三数学第一轮复习数列(知识点很全)
