《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题（一）
dz1、
?|z?z0|?1(z?zn?__________.（n为自然数）
0)222.sinz?cosz? _________.
3.函数sinz的周期为___________.
f(z)?14.设
z2?1，则
f(z)的孤立奇点有__________.
?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.
n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
limzlimz1?z2?...?zn7.若
n??n??，则
n??n?______________.
zRes(ezn,0)?8.
________，其中n为自然数.
9.
sinz的孤立奇点为________ .
z
limf(z)?___10.若z0是
f(z)的极点，则z?z0.
三.计算题（40分）：
f(z)?11. 设
(z?1)(z?2)，求f(z)在
D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.
12.
?|z|?1coszdz.
23. 设
f(z)??3??7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).
w?z?14. 求复数
z?1的实部与虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，
那么它在D内为常数.
2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
1
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分) 1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__
2.
设
f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，
limf(z)?z?1?i________.
3.
?dz|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数）
0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .
n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.
9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.
10.
Res(z?1z4,1)?____.
三. 计算题. (40分)
31. 求函数sin(2z)的幂级数展开式.
则
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
z?i处的值.
3. 计算积分：I??i?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）
的右半圆.
?sinzdzz?2(z??24. 求
2).
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________.
2. 函数ez的周期为_________.
2
3. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?n??__________.
4. sin2z?cos2z?___________.
5.
?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）
0)?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.
n?07. 设
f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设ez??1，则z?___.
9. 若z0是
f(z)的极点，则limf(z)?___.
z?z0z10. Res(ezn,0)?____.
三. 计算题. (40分)
11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.
??2. 试求幂级数
?n!nnz的收敛半径.
n?nz3. 算下列积分：
?edz|z|?1.
Cz2(z2，其中?9)C是4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常
数，那么它在D内为常数. 2. 设
f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数
R及M，使得当|z|?R时
|f(z)|?M|z|n，
证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
3
二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___. 2. 若limzz1?z2?...?znn??，则limn?n??n??______________.
3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________
5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.
8.
sinz的孤立奇点为________.
z9. 若z0是
f(z)的极点，则limf(z)?___.
z?z0z10.
Res(ezn,0)?_____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程z3?1?0.
z2. 设f(z)?ez2?1，求Res(f(z),?).
3.
?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .
1?14. 函数f(z)?ez?1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解
析.
2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
二. 填空题.（20分） 1. 设z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.
4
2. 当z?___时，ez为实数.
3. 设ez??1，则z?___.
4.
ez的周期为___.
5. 设C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.
z6.
Res(e?1z,0)?____.
7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________.
9.
sinz的孤立奇点为________.
z10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则
?1C(z?a)ndz?___.
（n为自然数） 三. 计算题. (40分)
z?11. 求复数
的实部与虚部.
z?12. 计算积分：
I??LRezdz，
在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.
求积分：dI???1?2acos??a2，其中0 04. 应用儒歇定理求方程 z??(z)，在|z|<1 内根的个数，在这里 ?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数 f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微. 2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R 及M，使得当|z|?R时 |f(z)|?M|z|n， 5 证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 1. 一、填空题（20分） 1. 若z?21nn?n1?n?i(1?n)，则limzn?___________. 2. 设 f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为 ____________________________. 3. 函数sinz的周期为_______________________. 4. sin2z?cos2z?_______________________. ??5. 幂级数?nzn的收敛半径为________________. n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零 点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分） n1、lim?2?i?n????6??. 22、设f(z)??3??7??1)C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i. z3、设f(z)?e，求Res(f(z),i). z2?134、求函数 sinzz6在0?z??内的罗朗展式. 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值. 三、证明题（20分） 1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数， 则f(z)在D恒等于常数. 6 3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z10是的. f(z)m阶极点 ６．计算下列积分．（８分） (1) sinzdz； (2) z2???2dz． z?2(z??2)2??z?4z2(z?3)７．计算积分?2?d?05?3cos?．（６分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） ??(1) ?(1?i)nzn； (2) ?(n!)2n． n?1n?1nnz９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分） 三、证明题． １．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 二．填空题 1. ?2?in?1? 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. ?0n?1 ； 1 6. 整函数； 7. ?； 8. 1； 9. 0； (n?1)!10. ?. 三．计算题. 1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1 f(z)?111??zn(z?1)(z?2)?1?z???zn?12?(). 2(1?zn?0n?022)2. 解 因为 z??Resf(z)?lim2z??2z??2cosz?lim1z????1, 2?sinz7 z??Re2?sf(z)?limz???2z??cosz?lim1z????1. 22?sinz所以?1i(Resf(z)?Resf(z)?0z?2coszdz?2?. z????2z?23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z). 所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?12a(?1)z?1?1?22a(?1?biz?1?1?)(a?12)?b2?1?(a?21)?b2?b2a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?1)2bz?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1z?1)?(a?1)2?b2. 四. 证明题. 1. 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2. 两边分别对x,y求偏导数, 得 ?uux?vv(1)?x?0?uuy?vvy?0(2 )因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为 ?uu?x?vvx?0vu. 消去u22x得, (u?v)vx?0. ?x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的 z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角 8 增加?. 所以 f(z)?z(1?z)的幅角共增加?2. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, ? 则f(z)?z?rei??2k?2,(k?0,1). 又因为在正实轴去正实值，所以k?0. 所以f(i)?ei于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为 , ?4. 2?故f(?1)?2e2i?2i. 《复变函数》考试试题（二）参考答案 二. 填空题 1.1，??， i； 2. 3?(1?sin2)i； 3. ?2?in?12??0n?1； 4. 1；5. m?1. 6. 2k?i，(k?z). 7. 0； 8. ?i； 9. R；10. 0. 三. 计算题 ?n1. 解 sin(2z3)??(?1)(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?3n?0(2n?1)!??n?0(2n?1)!. 2. 解 令z?rei?. 3. 单位圆的右半圆周为z?ei?, ???2???2. 所以?i??zdz??2i??i?de?ei?2?2i. ?2??24. 解 ?sinzdzz?2?2?i(sinz)?(z??z???2?icosz? 2)22z?2=0. 四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令f(z)?c1?ic2,则f(z)?c1?ic2. (c1,c2为实常数). 令u(x,y)?c1,v(x,y)??c2. 则ux?vy?uy?vx?0. 即u,v满足C.?R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析. (充分性) 令f(z)?u?iv, 则 f(z)?u?iv, 因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以 ux?vy,uy??vx, 且ux?(?v)y??vy,uy??(?vx)??vx. 比较等式两边得 ux?vy?uy?vx?0. 从而在D内u,v均为常数,故 f(z)在D内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 an?10z?a1zn?????an?1z?an?0(a0?0) 9 有且只有 n个根”. 证明 令 f(z)?a0z?a1znn?1?????an?1z?an?0, 取有 2. 解 limn??cncn?1n!(n?1)?limn??n??n(n?1)!n?1n?1nlim(?)n??n??n1n?lim(?1e. )n?a1?????an???R?max?,1?, 当z在C:z?R上时, 所以收敛半径为e. ??a0???(z)?a1an?11Rn??????an?1R?an?(1?????an)R?a0Rn. ?f(z). 由儒歇定理知在圆 z?R 内, 方程ann?10z?a1z?????an?1z?an?0 与an0z?0 有相 同个数的根. 而 an0z?0 在 z?R 内有一个 n 重根 z?0. 因此n次方程在z?R 内有n 个根. 《复变函数》考试试题（三）参考答案 二.填空题. 1.?zz??i,且z?C?; 2. 2k?i(k?z); 3. ?1?ei; 4. 1; 5. ?2?in?1??0n?1; 6. 1; 7. ?i; 8. z?(2k?1)?i; 9. ?; 10. 1(n?1)!. 三. 计算题. 111?1. 解 z2ez?z2(1?z?2!z2????)??z?n?2n?0n!. 令 f(z)?ezez3. 解1z2(z2?9), 则 Resf(z)?z?0z2?9??9. z?0故原式?2?iResf(z)??2?iz?09. 4. 解 令 f(z)?z9?2z6?z2?2, ?(z)??8z. 则在C: z?1上f(z)与?(z)均解析, 且f(z)?6??(z)?8, 故由儒歇定理有 N(f??,C)?N(?f?,C?). 即在1 z?1 内, 方程只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2. 两边分别对x,y求偏导数, 得 ?uux?vvx?0(1)??uuy?vvy?0(2 ) 因为函数在 D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为 ?uu?x?vvx?0?uv. 消去u, (u2?v2x得)vx?0. ?vuxx?010 1) u?v?0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, 221(n?1)!. 三. 计算题. 1. vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n f(k)(0)?k!(z)k!Mrn2??fz?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0. n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数. k?0 《复变函数》考试试题（四）参考答案 . 二. 填空题. 1. 112, 2; 2. ?; 3. 2k?i(k?z); ??(?1)nz2n(z?1); 5. 整函数; n?06. 亚纯函数; 7. 0; 8. z?0; 9. ?; 解:z3??1?z?cos2k???3?isin2k???3k?0,1,2z11?cos?3?isin?3?2?32iz2?cos??isin???1z3?cos5?3?isin5?时, 3?12?32i ezz2. 解 Resf(z)??eee?1z?1z?1z?12, Resf(z)?z??1z?1?z??1?2. 故原式?2?i(Resf(z)?Resf(z))??i(e?e?1). z?1z??13. 解 原式?2?iResf(z)?2?izz??i9?z2??z??i5. 11z?ez?14. 解 ez?1?zz(ez=?1)，令z(ez?1)?0，得z?0,z?2k?i， k??1,?2,? 4. lim(11z?ez?1而 z?0ez?1?z)?limz?0(ez?1)z?lim1?ezz?0ez?1?zez ?ez 10. ?limz?0ez?ez?zez??12 ?z?0为可去奇点 11 当z?2k?i时，(k?0),z?ez?1?0 ?(ez?1)z???ez?1?zez 而 z?2k?iz?2k?i?0 ?z?2k?i为 一阶极点. 四. 证明题. 1. 证明 设F(z)?f(z), 在下半平面内任取一点z0, z是下半平面内异于z0的点, 考虑 limF(z)?F(z0)f(z)?f(z0)z?zz?z?limf(z)?f(z0)0z?z0z?z?lim0z?z0z?z. 00而z0, z在上半平面内, 已知f(z)在上半平面解析, 因此 F?(z0)?f?(z0), 从而F(z)?f(z)在下半平面内解析. 2. 证明 令f(z)??6z?3, ?(z)?z4, 则f(z)与?(z)在全平面解析, 且在C1:z?2上, f(z)?15??(z)?16, 故在z?2内N(f??,C1)?N(?,C1)?4. 在C2:z?1上, f(z)?3??(z)?1, 故在z?1内N(f??,C2)?N(f,C2)?1. 所以f??在1?z?2内仅有三个零点, 即原方程在1?z?2内仅有三个根. 《复变函数》考试试题（五）参考答案 一. 判断题. 1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题. 1.2, ??3, 1?3i; 2. a?2k?i(k?z,a为任意实数); 3. (2k?1)?i, (k?z); 4. 2k?i,(k?z); 5. 0; 6. 0; ? 7. 亚纯函数; 8. ?(?1)nz2n(z?1); 9. 0; 10. n?0?2?in?1??0n?1. 三. 计算题. 1. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bz?1?1?z?1?1?i)(a?12)?b2?1?2a(?1)(a?21)?b2?b2a(?21)?. b2 故 Re(z?1)?1?2(a?1), Im(z?12bz?1(a?1)2?b2z?1)?(a?1)2?b2. 2. 解 连接原点及1?i的直线段的参数方程为 z?(1?i)t0?t?1, 故?Rezdz?1c?1?i)t](1?i)dt?(1?i)1?i0?Re[(1??tdt?02. 3. 令z?ei?, 则d??dziz. 当a?0时 12 1?2acos??a?1?a(z?z)?a?2?12(z?a)(1?az)z, 1(z?a)(1?az) 只以《复变函数》考试试题（六）参考答案 二、填空题：1. ?1?ei 2. z??1 3. 2? 4. 1 5. 故I?1i?dzz?1(z?a)(1?az), 且在圆z?1内f(z)?z?a为一 级极 点 , 在z?1上无奇点, 故 Resf(z)?1?1,(0?a?1)z?a1?az2, 由残数定理有 z?a1?aI?1i2?iResf(z)?2?2,(0?a?1)z?a1?a. 4. 解 令f(z)??z, 则f(z),?(z)在z?1内解析, 且在C:z?1上, ?(z)?1?f(z), 所以在z?1内, N(f??,C)?N(f,C)?1, 即原方程在 z?1内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证 明 因 为 u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0, 故 ux?2x,uy?2y,vx?vy?0. 这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z?0处满足C.?R.条件, 故f(z)只在除了z?0外处处不可微. 2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时, f(k)(0)?k!(z)n2??f?k!Mrz?rzk?1dzrk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0. n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数. k?0 1 6. m?1阶 7. 整函数 8. ? 9. 10. 欧拉公式 三、计算题： 1. 解：因为 2?i6?19?136?56?1, 故lim(2?i6)n?0n??. 2. 解：?1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)2?i?C??zd? ??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1) f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 0 13 ezz13.解：z2?1?e2?(1z?i?z?i) ?Res(f(z),i)?ei.2 ?(?1)n(z34.解：sinz3??)2n?1n?0(2n?1)!, ? ?sinz3?(?1)n z6?z6n?3. n?0(2n?1)!225．解：设z?x?iy, 则w?z?11?iy(x?y?1)?2yiz?1?x?z?1?iy?(x?1)2?y2. 22 ?Rew?x?y?1(x?1)2?y2,Imw?2y(x?1)2?y2. 6．解：e??3i?cos(??3)?isin(??3)?12(1?3i). 四、1. 证明：设f(z)?9z6,?(z)?z7?6z3?1, 则在z?1上，f(z)?9,?(z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z). 根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数 为6. 2.证明：设v(x,y)?a?bi，则vx?vy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0. 于是u(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常 数. 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?zm0)g(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0， 于是 11f(z)?(z?zm?10)g(z) 由g(z0)?0可知存在z10的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此 g(z)在内D11解析，故z0为 的f(z)m阶极点. 14
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