选修4--5知识点
1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c ③（可加性）a?b?a?c?b?c
（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc
a?b,c?0?ac?bc
⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd
（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?ab?cd
nna?b?0?a?b(n?N,且n?1) ⑥（平方法则）
nn⑦（开方法则）a?b?0?a?b(n?N,且n?1)
a?b?0?⑧（倒数法则）2、几个重要不等式
1111?;a?b?0??abab
a2?b2ab?.a2?b2?2ab?a，b?R?2①,（当且仅当a?b时取\?\号）. 变形公式：
a?b?ab?a，b?R??②（基本不等式） 2 ,（当且仅当a?b时取到等号）.
?a?b?ab???.2a?b?2ab?? 变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
2a?b?c3?abc?(a、b、c?R)（当且仅当3③（三个正数的算术—几何平均不等式）
a?b?c时取到等号）.
④
a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R?
（当且仅当a?b?c时取到等号）.
333a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0) ⑤
（当且仅当a?b?c时取到等号）.
ba若ab?0,则??2ab⑥（当仅当a=b时取等号） ba若ab?0,则???2ab（当仅当a=b时取等号）
bb?ma?na??1??aa?mb?nb，⑦（其中a?b?0，m?0，n?0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧
当a?0时，x?a?x2?a2?x??a或x?a;
x?a?x2?a2??a?x?a.⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
a?b?a?b?a?b.2a?ba2?b2?ab????1?1（a,b?Ra?b22①平均不等式：，，当且仅当a?b时取\?\号）.
（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）.
变形公式：
222?a?b?a?b(a?b)22ab??;a?b?.??2?2?2
2②幂平均不等式：
1a12?a22?...?an2?(a1?a2?...?an)2.n
③二维形式的三角不等式：
x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2(x1,y1,x2,y2?R).④二维形式的柯西不等式：
22222(a?b)(c?d)?(ac?bd)(a,b,c,d?R).当且仅当ad?bc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
(a12?a22?a32)(b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：
(a12?a22?...?an2)(b12?b22?...?bn2)?(a1b1?a2b2?...?anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式：
ururururururururur??????,设?,?是两个向量，则当且仅当?是零向量，或存在实数k，使??k?时，
等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）： 设
a1?a2?...?an,b1?b2?...?bn为两组实数.
c1,c2,...,cn是
b1,b2,...,bn的任一排列，则
a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1c1?a2c2?...?ancn?a1b1?a2b2?...?anbn.顺序和），当且仅当
（反序和?乱序和?a1?a2?...?an或
b1?b2?...?bn时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：
131(a?)2??(a?)2;242 ①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），
11112212?,?,???,22k(k?1) kk(k?1) 2kk?kkk?k?1 如k12?(k?N*,k?1)kk?k?1等.
5、一元二次不等式的解法
2ax?bx?c?0(或?0) 求一元二次不等式
(a?0,??b2?4ac?0)解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
(完整word版)高中数学不等式知识点总结
