【课题】 2．2双曲线（二）
【教学目标】
知识目标：
了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
能力目标：
学生的数学思维能力得到提高．
【教学重点】
双曲线的性质．
【教学难点】
双曲线的渐近线概念的理解．
【教学设计】
双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点．例3是双曲线的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4与例5都是求双曲线方程的训练题．这些题目都属于基础性训练题．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 2．2 双曲线． *创设情境 兴趣导入 我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程 xy??1(a?0，b?0) 22ab22教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 播放 课件 质疑 了解 观看 课件 思考 引导 启发学生得出结果 0 5 来研究双曲线的性质． *动脑思考 探索新知 1．范围 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 理解 记忆 引导学生发现解决问题方法 y2因为2≥0，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上 b的点的横坐标满足x22≥1x≥a，即．于是有 2ax≤－a或x ≥a． 2这说明双曲线位于直线x＝－a的左侧与直线x＝a的右侧（如图2－11） 总结 归纳 图2－11 2．对称性 在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这 说明双曲线关于x轴对称． 同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x 轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称 中心（简称中心）． 3.顶点 在双曲线的标准方程中，令y?0，得到x??a．因此， 双曲线与x轴有两个交点A1(?a,0)和A2(a,0)（如图2－11）． 双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此 A1(?a,0)和A2(a,0)是双曲线的顶点． 分析 22令x?0，得到y??b，这个方程没有实数解，说明双关键 曲线和y轴没有交点．但是，我们也将点B1(0，?b)与B2(0，b)画出来（如图2－11）． 线段A它们的1A2，B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，词语 教 学 过 程 长分别为2a和2b．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长． 【说明】 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 4．渐近线 经过A1、A2分别作y轴的平行线x = －a ，x = a，经过教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 B1、B2分别作x轴的平行线y = －b ，y = b．这四条直线围成一个矩形（如图2－12）．矩形的两条对角线所在的方程为 y??双曲线的标准方程可以写成 bx． ab2ba22y??x?a??x1?2， aax 可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于?bx的a值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线y??（但不能相交）．因此，两条直线y??线． bx无限接近abx叫做双曲线的渐近a 图2－12 【说明】 y2x2焦点在y轴的双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线方程ab教 学 过 程 a为y??x． b5．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 25 2cc?叫做双曲线的离心2aa率，记作e．即 e? c． a因为c?a?0，所以双曲线的离心率e?1． 由 bc2?a2c22???1?e?1 2aaa可以看到，e越大，的值越大，即渐近线y??babx的斜率的a绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图2－12）．因此，离心率e的值可以刻画出双曲线“张口”的大小． 【想一想】 等轴双曲线的离心率是多少？ *巩固知识 典型例题 例3 求双曲线9x2?16y2?144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画出图形． 解 将方程化成标准方程为 xy??1． 16922 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 因此双曲线的焦点在x轴上且b2?9，c2?a2?b2?25．a2?16，故a?4,b?3,c?5． 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，焦点为F1(?5，，0)F2(5，0)，离心率为 教 学 过 程 c5 e??， a4渐近线方程为 y?? 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 45 3x． 4可以先画出双曲线在第一象限内的图形，然后再利用双曲线的对称性，画出全部图形． 双曲线方程在第一象限可以变形为 y? 32x?16． 4在区间[4,??)内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表： x y 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐4 0 5 2.25 6 3.35 7 4.31 8 5.20 标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到双曲线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部图形（如图2－13）． 图2－13 【说明】 画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形．
中职数学(高教版)拓展模块教学设计：双曲线
