考研数学三（多元函数微分学）-试卷1
(总分：62.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则（分数：2.00）
A.f 2 +xf 11 +(x+z)f 12 +xzf 22 B.xf 12 +xzf 22
C.f 2 +x 12 +xzf 22 √ D.xzf 22 解析：解析： （分数：2.00） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件
D.非充分非必要条件 √ 解析：解析：如f(x，y)=但对x不可偏导,选(D)．
4.设可微函数f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )． （分数：2.00）
A.f(x 0 ，y)在y=y 0 处导数为零 √ B.f(x 0 ，y)在y=y 0 处导数大于零 C.f(x 0 ，y)在y=y 0 处导数小于零 D.f(x 0 ，y)在y=y 0 处导数不存在
解析：解析：可微函数f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有f\x (x 0 ，y 0 )=0，f\y (x 0 ，y
0
\\
\
\
\
\
\
\
\
\
=( )．
=xf\12 +f\2 +xzf\22 ，选(C)．
3.函数z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是函数z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )．
在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，
)=0， 于是f(x 0 ，y)在y=y 0 处导数为零，选(A)．
二、 填空题(总题数：10，分数：20.00)
5.设z=f(x +y +z ，xyz)且f一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析： x+y+z
2
2
2
= 1．
6.设y=y(x，z)是由方程e （分数：2.00）
=x +y +z 确定的隐函数，则 222
= 1．
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析： 7.设z=f(x，y)是由e +x+y +z= （分数：2.00）
2yz2
确定的函数，则 = 1．
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析： x+y
一t2
8.设y=y(x)由x一∫ 1 e （分数：2.00）
dt=0确定，则 = 1．
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e一1．） 解析：解析：当x=0时，y=1，x一∫ 1 e
2
2
x+y
一t2
dt=0两遍求导得 9.设z=z(x，y)由z+e =xy 确定，则dz= 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：z+e =xy 两边求微分得d(z+e )=d(xy) ，即dz+e dz=y dx+2xydy解得 10.设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求偏导得11.设z=xy+（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：z+xy．） 解析：解析：12.由方程xyz+（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：dx一[*]） 解析：解析：（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．） 解析：解析：f x (x，y，z)= 入得 ’
’z
2
z
2
z
2
= 1．
，其中f可导，则= 1．
确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz= 1。
把(1，0，一1)，代入上式得dz=dx一x
2
13.设f(x，y，z)=e yz ，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f\x (0，1，一1)= 1。
，x+y+z+xyz=0两边对x求偏导得 ，将x=0，y=1，z=一1代
，解得f x (0，1，一1)=1．
)，则dz| = 1。 1，3
14.设f(x，y)可微，且f\(一1，3)=一2，f\(一1，3)=1，令z=f(2x一y， 1 2 （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一7dx+3dy．） 解析：解析： 则dz| (1，3) =一7dx+3dy．
三、 解答题(总题数：17，分数：34.00)
15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
16.设z=z(x，y)由z一yz+ye （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方程x一yz+ye 对y求偏导得 解析：
17.设z=f[x一y+g(x一y一z)]，其中f，g可微，求（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：等式z=f(x一y+g(x一y一z))两边对x求偏导得一z))两边对y求偏导得解析：
18.设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解析：
19.设xy=xf(z)+yg(z)，且zf\z=z(x，y)是x．y的函数．证明：（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得解析：
20.设z=f(x，y)由方程z一y一z+xe （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对z一y一x+xe 一dy一dx)=0， 解得 解析：
21.设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程e 一y=0与e 一xz=0确定，求 （分数：2.00）
xy
z
z一y一xz一y一zz一x一y
z一x一y
=0确定，求 及dz．
=0两边对x求偏导得 方程x一yz+ye
z一x一y
=0两边
) 等式z=f(x一y+g(x一y
) ) ) =0确定，求dz．
=0两边求微分，得 dz一dy一dx+e
z一y一x
dx+xe
z一y一x
(dz
) __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案： ) 解析：
22.设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(z+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得解析：
23.设y=f(x，t)，其中￡是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 ) 方程e 一y=0两边对x求导得 xy
方程e 一xz=0两边对x求导得
z
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解析： 24.设且F可微，证明： 解得) （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解析： 25.设变换可把方程，求常数a． 两边对x求偏导得两边对y求偏导得) （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将u，υ作为中间变量，则函数关系为z=f(u，υ)，代入方程解析：
26.设z=[x+φ(x一y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：z=f[x+φ(x一y)，y]两边对y求偏导得 2
则有将上述式子根据题意得解得a=3．)
=一f\1 ．φ\2 ， =一(一f\11 φ\12 )φ\1 φ\一f\21 φ\22 =f\11 (φ\ 一2φ\1 φ\22 ．) 解析：
27.设f(x+y，x一y)=c 一y + （分数：2.00）
2
2
，求f(u，υ)，并求 __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令解析：
28.求二元函数f(x，y)=x (2+y )+ylny的极值． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y|y＞0}， 所以 解析：
29.试求z=f(x，y)=x +y —3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2)上的最大值与最小值． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当(x，y)在区域D内时， 2
3
32
2
，从而f(u，υ)=uυ+于是) 因为AC一B ＞0且A＞0，
2
为f(x，y)的极小点，极小值为 ) 在L 1 :y=一1(0≤x≤2)上，z=z +3x一1， 因
3
3
为z\ +3＞0，所以最小值为z(0)=一1，最大值为z(2)=13； 在L 2 :y=2(0≤x≤2)上，z=x —6x+8， 由z\ 一6=0得x= 3
2
2
，z(0)=8，2( )=8 ，z(2)=4； 在L 3 ：x=0(一1≤y≤2)上，
3
z=y ， 由z\ =0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8； 在L ：x=2(一1≤y≤2)上，z=y —6y+8， 4 由z\一6=0得y= 解析： 30.平面曲线L:（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：曲线绕x轴旋转一周所得的曲面为由根据对称性，设内接长方体在第一由实际问题的特性及点的唯一性，绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．
，z(一1)=13，z( )=8一4 ，z(2)=4． 故z=x +y —3xy在
3
3
D上的最小值为一1，最大值为13．)
卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz． 令当解析：
时，内接长方体体积最大，最大体积为) 31.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x一x +16y一4y —2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？ （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据题意，即求函数L(x，y)=6x一x +16y—4y —2在0＜x+y≤6下的最大值． L(x，y)的唯一驻点为(3，2)， 令F(x，y，λ)=6x一x +16y—4y 一2+λ(x+y一6)， 由 润最大，最大利润为23万元．) 解析：
2
2
2
2
22
根据题意，x，y只能取正整数，故(x，y)的 可能取值为L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2时利
考研数学三(多元函数微分学)-试卷1
