二向应力状态分析 - 解析法

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课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 解析法分析二向应力状态，主应力，主平面，最大切应力。 解析法分析二向应力状态 教 学 内 容 与 教 学 过 程 1、 解析法分析二向应力状态 2、斜截面上的应力 3、主应力，主平面 4、最大切应力 例7—1 ，例7—2 ，例7—3 。 编写日期 年 月 日 §7.3 二向应力状态分析——解析法 需 2课时 掌握运用解析法求二向应力状态，斜截面上的应力、主应力、主平面、最大切应力、切平面。 提示与补充 青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案

§7.3 二向应力状态分析——解析法 一、斜截面上的应力 二向应力状态的一般情况是一对横截面和一对纵向截面上既有正应力又有切应力，如图10-6 a所示，从杆件中取出的单元体，可以用如图10-6 b所示的简图来表示。假定在一对竖向平面上的正应力σx 、切应力τx 和在一对水平平面上的正应力σy 、切应力τy的大小和方向都已经求出，现在要求在这个单元体的任一斜截面ef上的应力的大小和方向。由于习惯上常用?表示斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角，所以有把这个斜截面简称为“?截面”，并且用??和??表示作用在这个截面上的应力。 对应力σ、τ和角度?的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度?以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，时顺时针转时为负。按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的σx、σy是正值，τx是正值，τy是负值，?是正值。 当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面ef上的应力。 取bef为脱离体如图10-6c所示。对于斜截面ef上的未知应力σα和τα，可以先假定它们都是正值。脱离体bef的立体图和其上应力的作用情况如图10-6d所示。设斜截面 ef 的面积为 dA ，则截面 eb和 bf的青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案

面积分别是 dAcos? 和 dAsin?。脱离体bef的受力图如图10-6e所示。 取n轴和t轴如图10-6e所示，则可以列出脱离体的静力平衡方程如下： 由Σn = 0，得到 σαdA+(τxdAcosα)sinα-（σxdAcosα）cosα +(τydAsinα)cosα-（σydAsinα）sinα = 0 ( a ) 由Σt = 0，得到 ταdA+(τxdAcosα)cosα-（σxdAcosα）sinα +(τydAsinα)sinα-（σydAsinα）cosα = 0 ( b ) 由式( a )和( b )就可以分别推导出σα和τα的计算公式。 在推倒过程中可以首先利用切应力互等定理τx =τy，将式（a）改写为 σα + 2τxsinαcosα—σxcos2α—σysin2α= 0 代入以下的三角函数关系： cos2α = 1?cos2?1?cos2? ，sin2α= 22sin2α= 2sinαcosα 就可以得到 σα+τx sin2α-σx( 经过整理后，便为 σα = 1?cos2?1?cos2? )-σy( ) = 0 22?x??y?x??y + cos2α- τxsin2α (6-1) 22同理，可以由式（b）推导得 τα= ?x??y2sin2α+ τxcos2α (6-2) 式（6-1）和（6-2）就是对处于二向应力状态下的单元体，根据σx 、σy、τx求σα和τα的解析法公式。 [例7—1] 一平面应力状态如例图10-7所示，试求其外法线与x轴成30 角斜截面上的应力。 [解] 根据正应力、切应力和α角的正负规定，有σx = 10MPa，τx =- 20 MPa，σy =-20 MPa，α = 30，将各数据代入式(10-1)和（10-2）得 σ???30 = （10?2010?20?? + cos60 + 20sin60 ）MPa 22 =(?5?15?13?20?) MPa = 19.82MPa 22青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案

τ30?= (10?20?? sin60 - 20cos60)MPa 2 = (15?31?20?) MPa = 2.99 MPa 22结果为正，表示实际应力的方向与图中假设方向一致，如图（b）所示。 [例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。 ?青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案

[解] （1）计算截面m — m上的内力。 支座反力YA =YB = 10kN，画出内力图如(图10-8b)所示。截面m-m上的内力为： M = （10 ×103×300 ×10-3 ）N·m = 3000N·m = 3kN·m FQ = 10 kN （2）计算截面m-m上点k处的正应力σx、σy和切应力τx 、τy。 由式（10-2）计算σx ； bh380?1603?() mm=27300000mm = 27.3×10-6m4 I= 1212My3?103?20?10?3) N/m2= 2.2×106 N/m2 = 2.2MPa σx = = (?6I27.3?10根据梁受纯弯曲时纵向各层之间互不挤压的假定，可以近似地认为 σy = 0 计算τx 和τy； QS10?103?(60?80?50?10?9)τx = = N/m2= 1.1×106N/m2 ?6?3Ib27.3?10?80?10= 1.1 MPa τy = -τx = -1.1 MPa 在点k处取出单元体，并且将σx、σy、τx 、τ单元体上，如图10-8c所示。 计算点k处α = - 30的斜截面上的应力。 将上面已求出的σx、σy、τx 、τ（ 6-1 ）和 （6-2 ）就可以求得： σα = 〔y?y的代数值表示在的代数值和α =- 30代入式?2.22.2?? + cos2(-30) - 1.1sin2(-30)〕MPa 2213 + 1.1×）MPa = 2.60MPa 22= （1.1 + 1.1 × τ = 〔α2.2??sin2(-30) + 1.1cos2(-30)〕MPa 213) + 1.1 × 〕MPa= -0.40MPa 22= 〔1.1×(-