第八章 立体几何初步
第1课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系
理解空间点、线、面的基本位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置 理解空间直线、平面位置关系的定义，关系．了解公理1，2，3及公理3的推论1，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直2，3，并能正确判定；了解平行公理和等角线所成的角． 定理．
1. (必修2P24练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为________．
答案：P?l，l?α
解析：考查点、线、面之间的符号表示． 2. (必修2P28练习2改编)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝45°，则∠PQR＝________． 答案：45°或135°
解析：由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为45°或135°. 3. (原创)若直线l上有两个点在平面α外，则________．(填序号) ① 直线l上至少有一个点在平面α内； ② 直线l上有无穷多个点在平面α内； ③ 直线l上所有点都在平面α外； ④ 直线l上至多有一个点在平面α内． 答案：④
解析：由已知得直线l?α，故直线l上至多有一个点在平面α内．
4. (必修2P31习题15改编)如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，
AEAHCFCG
BC，CD，DA上除端点外的点，＝＝λ，＝＝μ，则下列结论中不正确的是
ABADCBCD
________．(填序号)
① 当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； ② 当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；
③ 当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形； ④ 当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形． 答案：④
AEAHEHFG
解析：由＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，同理得FG∥BD 且 ＝μ，当λ＝μ时，
ABADBDBD
EH∥FG且EH＝FG.当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG，只有④错误．
5. (必修2P30练习2改编)在正方体A1B1C1D1ABCD中，与AB异面的棱有______________________．
答案：A1D1，DD1，CC1，C1B1
1. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 3. 平行直线的公理及定理 (1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
4. 异面直线的判定
(1) 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2) 符号表示：若l?α，A?α，B∈α，B?l，则直线AB与l是异面直线． 5. 异面直线所成的角
(1) 定义：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．
?π?(2) 范围：?0，?.
2??
(3) 若异面直线a，b所成的角是直角，就称异面直线a，b互相垂直．记作a⊥b. [备课札记]
, 1 平面的基本
性质)
, 1) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为CC1，AA1的中点，
画出平面BED1F和平面ABCD的交线．
解：如图，在平面ADD1A1内延长D1F与DA交于一点P，则P∈平面BED1F. ∵ DA?平面ABCD，∴ P∈平面ABCD，
∴ 点P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点． 又点B是两平面的一个公共点， ∴ PB为两平面的交线．
备选变式（教师专享）
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
解：显然点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵ E∈AC，AC?平面SAC，∴ E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD，
∴ 点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE， 则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
, 2 共点、共线、
共面问题)
2024版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第八章立体几何初步学案
