*精*
?X(z)?lnz?ln(1?z)?ln
z1?zdX(z) 因为X(z)的收敛域和的收敛域相同，dz故X(z)的收敛域为|z|?1。 z?? 极点为：z?0,z?1 零点为：
(5)x(n)?nsin?0n,n?0(?0为常数）解：(5) 设 y(n)?sin(?0n)?u(n)
则有 Y(z)?n????y(n)?z??nz?1sin?0?，|z|?1 1?2z?1cos?0?z?2而 x(n)?n?y(n)
z?1(1?z?2)sin?0d∴X(z)??z?Y(z)?,|z|?1
dz(1?2z?1cos?0?z?2)2因此，收敛域为 ：z?1
极点为： z?ej?0,z?e?j?0 （极点为二阶）零点为： z?1,z??1,z?0,z??
(6)x(n)?Arncos(?0n??)u(n),0?r?1设 y(n)?cos(?0n??)?u(n) ?[(cos(?0n)?cos??sin(?0n)?sin?]u(n)解：(6)
?cos??cos(?0n)?u(n)?sin??sin(?0n)?u(n) 1?z?1cos?0z?1sin?0? Y(z)?cos???sin???1?21?2zcos?0?z1?2z?1cos?0?z?2 ?cos??z?1cos(???0)1?2zcos?0?z?1?2, z?1则 Y(z) 的收敛域为 z?1 而 x(n)?Arn?y(n)Acos??z?1rcos(???0)z? X(z)?A?Y()?
r1?2z?1rcos?0?r2z?2则X(z) 的收敛域为 ： z?|r| 。??（7）Z[u(n)]=z/z-1
*精*
Z[nu(n)]=-z2dzz []?dzz?1(z?1)2dzz?z2Z[nu(n)]=-z[]?dz(z?1)2(z?1)3
零点为z=0,±j,极点为z=1
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X(z)的z反变换1?1z11?2z?112 (1) X(z)?, z? (2) X(z)?, z?
1?21?1241?z1?z4411?z?1z?a1114 (3)X(z)?, z? (4) X(z)?, ?z?8?11?21?aza531?z?z15151?分析：
长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按
z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。
部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分
式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n）。 留数定理法：
（1） 注意留数表示是 Res (X(z)zn?1)z?zk?(z?zk)X(z)zn?1z?zk
因而 X(z)zn?1 的表达式中也要化成 1/(z?zk) 的形式才能相抵 消 ， 不能用 1/(1?zkz?1) 来和（ z?zk） 相抵消 ， 这是常出 现的错误 。（2） 用围线内极点留数时不 必取“?” 号（负号） ， 用围线外极点留 数时要取“?” 号（负号） 。（1）（i）长除法：
1?1z12X(z)??111?z?21?z?1421?
极点为z??1/2,而收敛域为：|z|?1/2,
因而知x(n)为因果序列，所以分子分母要
按降幂排列 1?1z?1?1z?2?
21?1?1z1211?z?12
4???
*精*
1?1z2 11?z?1?z?224?4
1z?2
X(z)?1??1?11?2z?z????24n?1??n ?????z2?n?0?
?1?所以：x(n)??????u(n)
?2?n（1）(ii)留数定理法：
11 x(n)?zn?1dz, 设 c为 ?2?jc1?1z?121z?内的逆时针方向闭合曲线：
2 当n?0时，
11nzn?1?z在c内有 11?1z?21?z21z??一个单极点
2??nn?z??1?????, n?0 ? 则x(n)?Res?1?2??z???2??z??1?2
由于 x(n) 是因果序列 ，
故 n?0 时， x(n)?0
?1? 所以 x(n)?????u(n)
?2?n（1）(iii)部分分式法：
11?z?11z2 X(z)? ??1?21?111?z1?zz?422*精*
因为 z?1 2n?1? 所以 x(n)?????u(n)
?2?（2）(i). 长除法：
11由于极点为z?,而收敛域为z? ,
44因而 x(n)是左边序列,所以要按z的 升幂排列：
8?28z?112z2????
1?z2?z 42?8z
7z7z?28z2
28z228z?112z23
X(z)?8?28z?112z2???? ?8??7?4n?znn?1?
?8?n????7?4?1?n?z?nn?1? 所以 x(n)?8??(n)?7????u(?n?1)
?4?
（2）(ii)留数定理法:
x(n)?12? j?1X(z)zn?1dz 设 c 为 z? ， 内的逆时针方向闭合曲线 c4当 n?0 时：
X(z)zn?1 在c外有一个单极点z?1 4*精*
?x(n)??Res[X(z)zn?1]
z?141 ?7?()n, (n?0)4
当 n?0 时：
X(z)zn?1在c内有一个单极点z?0
∴x(n)?Res[X(z)zn?1]z?0?8,n?0
当 n?0 时： X(z) zn?1在 c 内无极点 ，
则： x(n)?0,n?0
综上所述，有：
1x(n)?8?(n)?7()nu(?n?1)
4(2)(iii). 部分分式法：
X(z)z?28?7 ???11zz(z?)zz?447z7 则 X(z)?8? ?8?1?111?z4z?41 因为 z? 则x(n)是左边序列
41 所以 x(n)?8?(n)?7()nu(?n?1)
4
(3)(i). 长除法： 因为极点为z?
11
，由z?可知,x(n)为
aa
因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ?11111?(a?)z?1?2(a?)z?2???? aaaaa ?az?1z?a
z?1a1?(a?)a
111?1?(a?)?(a?)zaaa
数字信号处理教程课后题答案 - 图文
