第1节 集 合
考试要求 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AA.
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集 B或B
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩(2)A∪A＝A，A∪(3)A∩(?UA)＝[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C. 3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析 (1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. (4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
＝
，A∩B＝B∩A.
{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} ＝A，A∪B＝B∪A.
，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 019}，a＝22，则( ) A.a∈P C.{a}?P
B.{a}∈P D.a?P
解析 因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 019的自然数构成的集合，所以a?P，只有D正确. 答案 D
3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.
解析 由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个). 答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( ) A.{x|－1
B.{x|－1≤x≤2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析 法一 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}.
法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}. 答案 B
5.(2019·菏泽模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B.
解析 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以A答案
B.
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( ) A.M＝N C.M∩N＝
B.M?N D.N?M
??11
??－1，0，，2，3(2)若x∈A，则x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝2??
的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是( ) A.1
B.3
C.7
D.31
解析 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M. 1
(2)具有伙伴关系的元素组是－1，2，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，
?1???1
?，2?，?－1，，2?.
2?2???
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围为________. 解析 (1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.
2???（2－a）<1，?1 (2)由题意得?解得? 2 ???（3－a）≥1，?a≤2或a≥4. 所以1 答案 (1)A (2)(1，2] 考点二 集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A.A B B.B A C.A?B D.B＝A (2)(2019·杭州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1 A. (2)A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}. 当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠时，若B?A，如图. m＋1≥－2，?? 则?2m－1≤7， ??m＋1<2m－1，解得2
2019-2020创新设计一轮复习 第一章 第1节
