课时分层作业(二十) 半角的正弦、余弦和
正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1α?3π?
1.已知cos α＝5，α∈?2，2π?，则sin 2等于( )
??10
A．5 26
C．5
10
B．－5 25D．5 1－cos α10
＝25.]
α?3π?α?3π?
A [∵α∈?2，2π?，∴2∈?4，π?，sin 2＝????
4ααα
2.设α是第二象限角，tan α＝－3，且sin 2 5 5 B． 5 5 3C．5 3D．－5 ααα A [因为α是第二象限角，且sin 2 43α 因为tan α＝－3，所以cos α＝－5，所以cos 2 ＝－1＋cos α5 ＝－25.] 3.若sin74°＝m，则cos 8°＝( ) A．C．1－m2 1＋m2 B．±D．±1－m2 1＋m2 C [∵sin74°＝m＝cos 16°，∴cos 8°＝＝1＋m 2，故选C．] 1＋cos 16° 2 3θ 4．已知cos θ＝－5，且180°<θ<270°，则tan2的值为( ) A．2 B．－2 C．1 2 D．－12 B [法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ 2<135°， ∴tan θ 2<0， 1－??∴tan θ 1－cos θ ?－35??? 2＝－1＋cos θ ＝－1＋??3?＝－2. ?－5?? 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos2θ＝－1－9425＝－5， θsin －4∴tan＝θ5 21＋cos θ ＝ 1＋?＝－2.] ??－35??? 5．已知tanθ 2＝3，则cos θ等于( ) A．45 B．－4 5 C．415 D．－35 cos2θ2θθB [cos θ＝2－sin21－tan22 1－324 cos2θ＋sin2θ＝θ＝1＋3 2＝－5.] 221＋tan221＋tanα6．若cos α＝－4 5，α是第三象限角，则 2 α等于( 1－tan2 ) 11 A．－2 B．2 C．2 D．－2 43 A [∵α是第三象限角，cos α＝－5，∴sin α＝－5. αsin2αcos 2 ααcos 2＋sin2 31－5 α1＋tan2∴α＝1－tan2 1＋ 1＋sin α1 ＝＝＝＝－αααcos α42.故选A．] sin2cos 2－sin2－51－ αcos 2 二、填空题 θθ 7．设5π＜θ＜6π，cos 2＝a，则sin 4的值等于________． 1－a2θ [由sin24＝θ 1－cos 2 2 －，∵θ∈(5π，6π)， θ?5π3π?∴4∈?4，2?， ??θ ∴sin 4＝－ θ1－cos 2 2 1－a2.] ＝－B＋C1 8．在△ABC中，若cos A＝3，则sin22＋cos 2A＝________. B＋C1－cos?B＋C?1＋cos A122 －9 [sin22＋cos 2A＝＋2cosA－1＝＋2cosA－ 221 1＝－9.] 24α 9．已知α是第三象限角，sin α＝－25，则tan2的值是________． 43π－3 [∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋2， πα3π∴kπ＋2＜2＜kπ＋4， α ∴tan2＜－1，sinα＝ α2tan2 24＝－α25， 1＋tan22 αα 整理得12tan22＋25tan2＋12＝0 α43 ∴tan2＝－3或－4(排除)．] 三、解答题 π5x1 10．已知0＜x＜2＜y＜π，cos(y－x)＝13.若tan2＝2，分别求： (1)sinxcosx 2和2的值； (2)cos x及cos y的值． 2tanx＝ 2 2×1[解](1)由tan x2 1－tan2x＝ 2 1－??1?2＝43且x为锐角， ?2??所以cos x＝13 1＋tan2x＝5 ， 因为cos x＝2cos2x＝3x25 2－15，解得cos2＝5， sinx而tanx2 2 ＝ ＝1x15cosx2，所以sin2＝2cos x＝5. 2(2)由题知0＜y－x＜π，而cos(y－x)＝5 13得到y－x为锐角， 所以sin(y－x)＝ 1－??5?212?13?? ＝13， 则tan(y－x)＝tan y－tan x12 1+tan ytan x＝5. 由tanx＝4，所以tan y＝－563 333.则cos x＝5， 因为y为钝角，所以cos y＝－1 1＋tan2y ＝－3365. [等级过关练] 1.已知sin θ＝ m－34－2mm＋5，cos θ＝m＋5 ,θ∈??π?2，π? ??，则tan θ2等于( ) 1 A．－3 1 C．－5或3 2 2 B．5 1D．－3或5 ?m－3?2?4－2m?2 ?＋??＝1，解得m＝0或8，当mB [由sinθ＋cos θ＝1，得? ?m＋5??m＋5?π ＝0时，sin θ<0，不符合2<θ<π. 512θ1－cos θ ∴m＝0舍去，故m＝8，sin θ＝13，cos θ＝－13，tan 2＝sin θ＝＝5.] α 2.若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan2等于( ) 2133A．3 B．2 C．2 D．2 αααα D [∵α∈(0，π)，且3sinα＋2cos α＝6sin2cos2＋2(2cos22－1)＝2，∴6sin2α2αcos＋4cos＝4， 22 ααα 即3sin2cos2＋2cos22＝2， αααα3sin2cos2＋2cos223tan2＋2 α3α ∴＝＝2，解得tan＝或tan＝0(舍去)，故选D．] ααα222sin22＋cos22tan22＋1sin 4xcos 2xcos x3.··＝________. 1＋cos 4x1＋cos 2x1＋cos xtan x2sin 2xcos 2xcos 2xcos xsin 2xcos x [原式＝··＝·＝222cos2x1＋cos 2x1＋cos x1＋cos 2x1＋cos x 12 1＋13513 2sin xcos xcos xsin xx ·＝＝tan 2cos2x1＋cos x1＋cos x2.] 4．设0≤ α≤ π，不等式8x2－8xsin α＋cos 2α≥0对任意x∈R恒成立，则α的取值范围是________． π??5π?? ?0，6?∪?6，π? [由题意知，Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin2α????
2024-2024学年新教材人教B版第三册课时分层作业：20 半角的正弦、余弦和正切
