5
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. 2
B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 有下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
→→→
③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A、B共面； →→→
④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是 A．1 答案 B
解析 其中①③为真命题．
→1→
2． 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，
2
→则|MN|为 A.
21a 6
B.
C.
D.
15a 3
( )
B．2
( )
C．3 D．4
6
a 615a 6
答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)， aa，a，?. N?2??
设M(x，y，z)．
→1→∵点M在AC1上且AM＝MC1，
21
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
22aaa?2aa
∴x＝a，y＝，z＝.∴M??3，3，3?， 333→∴|MN|＝
?a－2a?2＋?a－a?2＋?a－a?2＝21a. ?3??3??23?6
π
3. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，
3
→→
则cos〈OA，BC〉的值为 A．0 C.3
2
1B. 2D.2 2
( )
答案 A
→→→
解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
π
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
3→→OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b 11
＝|a||c|－|a||b|＝0， 22→→
∴cos〈OA，BC〉＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b) ＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，
及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0. 1两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.
2
代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|. 12|b|
1a·b2
∴cos〈a，b〉＝＝2＝.
|a||b||b|2
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.
?0，π??，5. 如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ ?θ∈ ??2??AB⊥BC，
BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC ＝CD＝1，则AD的长为________． 答案
3－2cos θ
→→→→
解析 AD＝AB＋BC＋CD，
→→→→→→→→→→所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＋2AB·CD＋2AB·BC＋2BC·CD＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. →所以|AD|＝
3－2cos θ， 3－2cos θ.
即AD的长为
6． 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
答案
35
5
解析 b－a＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|＝?1＋t?2＋?2t－1?2
＝
5??t－1?95?2＋5
， ∴当t＝135
5时，|b－a|取得最小值5. 三、解答题
7． (13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． (1)证明 设CA→＝a，CB→＝b，CC→
′＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴CE→＝b＋12c，A→
′D＝－c＋112b－2a.
∴CE→·A→
′D＝－112c2＋2b2＝0.
∴CE→⊥A→
′D，即CE⊥A′D. (2)解 ∵AC→
′＝－a＋c， |AC→′|＝2|a|，|CE→
|＝52|a|.
AC→′·CE→＝(－a＋c)·??b＋12c?? ＝1c2＝1
|a|222
，
12|a|210→→
∴cos〈AC′，CE〉＝＝. 52102·|a|2
即异面直线CE 与AC′所成角的余弦值为10
.10
2014《步步高》高考数学第一轮复习08空间向量及其运算
