§8.6 空间向量及其运算
2014高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．
复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．
1． 空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2． 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. →→
推论 如图所示，点P在l上的充要条件是OP＝OA＋ta①
→→→→
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB→→→或OP＝(1－t)OA＋tOB.
(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向
→→→→→→→
量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或→→→→
OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量aπ
与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互
2相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4． 空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
22则|a|＝a·a＝a21＋a2＋a3，
a1b1＋a2b2＋a3b3a·bcos〈a，b〉＝＝22222 . |a||b|a1＋a2＋a3·b2＋b＋b123设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
→
则dAB＝|AB|＝?a2－a1?2＋?b2－b1?2＋?c2－c1?2. [难点正本 疑点清源]
1． 空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性
质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：
a·b(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求两个向量的数量积或夹
|a||b|角；
(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系； (3)|a|2＝a·a，用于求距离等等． 2． 用空间向量解决几何问题的一般步骤：
(1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．
1． 已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)， ∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13. 2． 下列命题：
→→→→
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件； ③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
→→→→
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
其中不正确的所有命题的序号为__________． 答案 ②③④
解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直线可能重合；
④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．
3． 同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是____________________．
122122
，－，?或?－，，－? 答案 ?33??333??3
解析 设与a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同时垂直b单位向量是c＝(p，q，r)，则
??
?2p＋2q＋r＝0，??4p＋5q＋3r＝0，
p2＋q2＋r2＝1，
??2
解得?q＝－3，?，?r＝23
1p＝，3
??2或?q＝3，?，?r＝－23
1p＝－，
3
即同时垂直a，b的单位向量为
?1，－2，2?或?－1，2，－2?.
33??333??3
→→
4． 如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD
→→
＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是
( )
11
A．－a＋b＋c
2211
B.a＋b＋c 2211
C．－a－b＋c
2211
D.a－b＋c 22答案 A
→→→→1→→
解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222
5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，
21
且A1E＝A1D，AF＝AC，则
33A．EF至多与A1D、AC之一垂直 B．EF与A1D、AC都垂直 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案 B
解析 设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，1121
，0，?，F?，，0?，B(1,1,0)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E?3??3?33?111→→→
，，－?，D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝?3??33
1→→→→→→→
BD1＝(－1，－1，1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，
3EF⊥AC.
( )
2014《步步高》高考数学第一轮复习08空间向量及其运算
