复习课(二) 直接证明与间接证明
合情推理
(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．
(2)处理与归纳推理相关的类型及策略
①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解． ②与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解．
③进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
[考点精要] 1．归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积
S11
为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，
S24
外接球体积为V2，则＝( )
11A.B. 89C.11D. 6427
V1V2
(2)(陕西高考)观察下列等式： 111－＝， 22
1 / 12
111111－＋－＝＋， 23434
111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456……，
据此规律，第n个等式可为______________________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝
V11
. V227
1111111
(2)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的
2n－12n2342n－12n每个式子的第一项为
1111，共有n项，故为＋＋…＋. n＋1n＋1n＋2n＋n11111111
[答案] (1)D (2)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
2342n－12nn＋1n＋22n[类题通法]
(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
[题组训练] 1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34 C．52 D．55
解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
2．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．
ACAEBCBE2 / 12
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得
AES△ACD＝. EBS△BCD答案：＝
AES△ACD
EBS△BCD演绎推理
(1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查．
(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键．
[考点精要] 演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．
[典例] 已知f(x)＝－
1?1?4＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn?an，－?在曲线
x?an＋1?
y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0.
(1)求数列{an}的通项公式； 1*(2)求证：Sn>(4n＋1－1)，n∈N.
2[解] (1)f(an)＝－∴∴
11＝
1
an＋1
＝－
1
4＋2，且an>0，
anan＋1a2n＋1
14＋2，
an1*
－2＝4(n∈N)．
an?1?1
∴数列?2?是等差数列，首项2＝1，公差d＝4，
?an?
a1
112∴2＝1＋4(n－1)，∴an＝. an4n－3∵an>0，∴an＝
14n－3
(n∈N)．
*
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高中数学复习课推理与证明教学案新人教A版2
