压轴题集训 参考答案与试题解析
一．选择题（共 3 小题）
1. 如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到
直线 b 的距离为 3，AB=
．试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MN⊥a
）
且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（
A．6
B．8
C．10 D．12
【解答】解：过 A 作直线 a 的垂线，并在此垂线上取点 A′，使得 AA′=4，连接 A′B， 与直线 b 交于点 N，过N 作直线 a 的垂线，交直线 a 于点 M，连接 AM，过点 B 作 BE⊥AA′，交射线 AA′于点 E，如图． ∵AA′⊥a，MN⊥a， ∴AA′∥MN． 又∵AA′=MN=4，
∴四边形 AA′NM 是平行四边形， ∴AM=A′N．
由于 AM+MN+NB 要最小，且 MN 固定为 4，所以 AM+NB 最小． 由两点之间线段最短，可知 AM+NB 的最小值为 A′B． ∵AE=2+3+4=9，AB= ∴BE=
=
， ，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5， ∴A′B=
=8
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所以 AM+NB 的最小值为 8． 故选：B．
，B（2，y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点 P（x，2. 如图所示，已知 A（，y1）
0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（
）
A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
【解答】解：∵把 A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数 y=得：y1=2，y2=， ∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB， ∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA﹣PB=AB， 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大， 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
把 A、B 的坐标代入得： ，
解得：k=﹣1，b= ，
∴直线 AB 的解析式是 y=﹣x+ ，
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当 y=0 时，x=， 即 P（，0）， 故选：D．
3. 如图，在⊙O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂线，与
PB 的延长线交于点 Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC= ，则 CQ 的最 大值是（
）
A．5
B． C．
D．
【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AB=5，∠ACB=90°， ∵tan∠ABC= ∴
=，
，
∵CP⊥CQ， ∴∠PCQ=90°， 而∠A=∠P， ∴△ACB∽△PCQ， ∴
=
，
?PC= PC，
∴CQ=
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当 PC 最大时，CQ 最大，即 PC 为⊙O 的直径时，CQ 最大，此时 CQ=×5=
二．填空题（共 11 小题）
． 故选：D．
4. 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，
以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最 小 值 为 ． 【解答】解：由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD
最短，
如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OH⊥EF，垂足为 H， ∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为 2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在 Rt△EOH 中，EH=OE?sin∠EOH=1×=
， 由
垂径定理可知 EF=2EH=．
故答案为：
．
5. 如图，直线 y=﹣ 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B；点 Q 是以 C（0，﹣
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1）
为圆心、1 为半径的圆上一动点，过 Q 点的切线交线段 AB 于点 P，则线段 PQ 的最小值是
．
【解答】解：过点 C 作 CP⊥直线 AB 于点 P，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，切点为 Q，最小，连接 CQ，如图所示． 当 x=0 时，y=3，
∴点 B 的坐标为（0，3）；当 y=0 时，x=4，
∴点 A 的坐标为（4，0）． ∴OA=4，OB=3， ∴AB= =5， ∴sinB=
=．
∵C（0，﹣1）， ∴BC=3﹣（﹣1）=4， ∴CP=BC?sinB=
．
∵PQ 为⊙C 的切线，
∴在 Rt△CQP 中，CQ=1，∠CQP=90°， ∴PQ= =．
故答案为：
．
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此时 PQ
2024中考数学专题复习压轴题集训（含答案）
