y M
P
N x
O
10、如图， PB 为⊙O0 的切线， B 为切点，直线 PO 交⊙O 于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交⊙ O 于点 A，延长 AO 与⊙O 交于点 C，连接 B C、AF。 （1）求证：直线 PA为⊙O 的切线；
（2）试探究线段 EF、OD、OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若 B C＝6，tan∠F＝
1
，求 cos∠ACB的值和线段 PE 的长.
2
A O
F
C
B D E
P
11、如图 1，AB 为半圆 O 的直径， D 为 BA 的延长线上一点， DC为半圆 O 的切线，切点为 C. （1）求证：∠ ACD＝∠B；
（2）如图 2，∠BDC的平分线分别交 A C，BC 于点 E，F；
① 求 tan∠CFE的值；
② 若 A C＝3，B C＝4，求 CE 的长.
C
C
F
D
O
D
E A
B
A
O
B
图1
图2
12、如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交切点为 G，连接 AG交 CD 于 K.
（1）求证： KE＝GE；
（2）若 KG
2＝KD GE，试判断 AC与 EF 的位置关系，并说明理由； （3）在（ 2）的条件下，若 sin E＝
3
5
，AK＝2 5 ，求 FG的长. A
C
H O K
D
B F
E
G
AB 的延长线于F， 参考答案 1.答案： B. 2.答案： 8. 3.答案： 15
4 .
4.答案：
5 4
. 【解析】 由 D 是劣弧 A?C 的中点，得 ?AD
·D C
ABD
DAC ，
又∵∠ ADB＝∠ EDA， ∴△ ABD∽△ EAD ， ∴ AD
＝DB ，
DE AD
∴AD 2＝ DE· DB；
由 D 是劣弧 A?C 的中点，得 AD＝DC，则DC 2＝DE· DB， ∵CB 是直径，
∴△ BCD 是直角三角形． ∴BD＝
2
2
5 5
BC
CD ＝
2
2
( ＝ 5
2 ) ( 2 ) 由 DC 2＝DE· DB 得， 5
2 ＝ 5 DE， ( ) 2
解得 DE＝ 5 4
．
5.答案： 6 . 6.答案：
7 .
7.答案： 3 2 .
3
. 8.答案：
10
2
9.答案：（ 1）解： △PMN 是等腰直角三角形，理由：∵∴∠ PON＝∠ FOM＝45°. ∴PN＝PM . 形
∴O∠ MON＋∠ NPM＝180°. ∴N∠ MON＝ 90°， P∴M∠ NPM＝90°. 即 △PMN 是等腰直角三角形。内，
y＝ x，
（2） △PMN 是等腰直角三角形， ∴∠ PMN＝∠ PNM
∵∠ OPN＝∠ OPN，∴ △PNG∽APON. △PNG 的周长： △PON 的周长＝ PG:PN＝3：4. ∴△PNG的周长＝ 6，∴ △PON 的周长＝ 8.
所以 AD＝BD，∠P0 A＝∠ P0 B，所以在 △PA0 和△P B0 中，OA＝OB,∠ P0 A＝∠ P0 B，P O＝PO，△PAO≌ △PBO 1（，所以 OA⊥PA，直线PA为⊙ O 切线。 0SAS），所以∠ PAO＝∠ PBO＝90°.（2） EF 答2＝4OD OP。因为∠ PAO＝∠ PDA＝90°，所以∠ OPA＋∠ AOP＝ 90°，且∠ OAD＋∠ AOD＝90°，∠ 则案
OD OA ：2＝OD OP，又因为EF＝ OAD＝∠ OPA，因为∠ AOD＝∠ POA，所以 △OAD∽ △OPA，所以 （
OA OP ，即 OA
12＝4OD 2OA，所以 EF OP. 所2＝4OD OP. 接 1 3）因为（OA＝ O C，AD＝ BD，B C＝6，由三角形中位线定理可知， 0D＝ B C＝3，设AD＝x，因为tan∠F 02 B 1 22
＝x＋3，解得 x ＝F＝2x－3，在 Rt△AOD 中，由勾股定理得（ 2x－3） P ，所以 FD＝2x， 0A＝O
1＝4 或 x 2
B2
1＝4 或 x 2
＝AC是⊙ O 直径，所以∠ ABC＝90°，又因为A C＝2 OA＝ 10， 是0（舍去），所以 AD＝ 4，OA＝2x－3＝5，因为⊙ 10 6 3 2＝OD O P，所以 3（P E＋5）＝ 25，所以 P E＝ ＝6，所以 cos∠ACB＝ BC.
OA 10 5 ，因为3 O
，所11.明：如图1 中，连接 OC. 以答案：（1）证∠∵OA＝OC，∴∠ OCA＝∠ OAC，∵ CD是⊙ O 切线，∴ .OC⊥CD，∴∠ OCD＝90°， ∵， P∠ DCA＋∠ OCA＝90°B∵AB 是直径， O∴∠ CAB＋∠ B＝90°， ＝∴9∠ ACD＝∠ B. 0
(2) 在 RT△ABC 中，∵ AC＝3，B C＝4，由勾股定理得 AB＝5， °∵∠0B CDA∠ BDC， DCA0A＝，＝BA⊥PO于 ∠D， ＝∠ B， ∴△ DCA∽△ DBC，
DC
∴
AC BC
DA
3 4
DB
CD
，设DC＝3k，DB＝ 4K,
2＝ ∵CD DA·DB，
2＝ DA·DB，
∴9k
2
＝（ 4k－5） 4k，
20 60 80 ∴k＝ ,∴CD＝ , DB＝
7 7 7
∵∠ CDE＝∠ BDF，∠ DCE＝∠ B，
60
EC DC ∴△ ,设ECDCE∽△ EF DB ＝4 DBF，∴ CFx
＝x,∴
7 12 x 12
,∴x,∴CE. 80 ＝ 7 ＝ 7
7
12.答案：（1）由∠ KGE＝∠ AKH＝∠ GKE可证K E＝GE
2＝KD GE （2）由△ GKD∽△ EGK 可证得 KG
25
（3） FG＝
. 2
8
中考培优竞赛专题经典讲义第18讲圆与相似
