第 18讲圆与相似
模型讲解
A
A
D
C
E
P
B
B
D C
PAB∽ PCD
ABE∽ DCE
A
A
O
O
C
B D C
E
B
ABE∽ 圆讲ADC解】 与 直1，则 AE 的长. ⊙ O D
的
C 直
E 径，⊙ A O 上一点，弦 AD 平分B ∠ BAC，交 BC 于点 E， AB＝6，AD＝5， O
【解析】 如图，连接 BD、CD ，
D
C
E
A B
O
A
P
B
C
PAC∽ PBA A
P
∵AB为⊙ O 的直径， ∴∠ ADB＝90° ∴BD＝
2
2
AB －AD ＝
2 2
6 －5 ＝ 11 ，
∵弦 AD 平分∠ BAC， ∴CD＝ BD＝ 11 ，
∴∠ CBD＝∠ DAB， 在△ ABD 和△ BED 中， ∠BAD＝∠ EBD ∠ ＝∠ ADB BDE ∴△ ABD∽△ BED ， DB ∴ ＝ DB AD DE
DE ，即
11 11 ＝ 5
解得 DE＝ 11 ．
5 ∴AE＝AD－DE＝5－ 11
＝ 14 5 5 .
2
，
在、ED、EC．若 BD＝8，DC＝6，求 CE 的长AD． △
A
ABH CG
O 中
E ，
以 B
D C 为
直径【∴， 的∠ ADC＝90°解⊙析∵ BG⊥AC， 】O∴∠ BGC＝∠ ADC＝90°， ∵ 交∵∠ BCD＝∠ ACD , ⊙ O 的直径， B∴△ ADC∽△ BGC， C
DC ＝ AC
， ∴于 BC
点CG ∴CG· AC＝DC· BC＝6×14＝ 84， 点作 BG B AE， ⊥AC 交⊙ O 于点 E、H，连 ∵⊙∠ O 的直径， ∴ AEC＝90°，∴∠ AEC＝∠ EGC＝90°， ∵∠ ACE＝∠ ECG， ∴△ CEG∽△ CAE， CE ∴ ＝ CE AC CG
，
∴CE2＝ CG· AC＝84，
∴CE＝ 2 21 ．
A
H
G O
E
B
D
C
【巩固练习】
1. 如图，已知 D D 为等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的任意一点， AD 的延长线交△ ABC 的外接圆于点 E， 连接 BE、CE，则图中相似三角形共有
(
)
A
O
B
D E
A．8 对
B．6 对
C．4 对
D．2 对
C
2．如图， AB 为⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点，连接 AC，过点 C 作直线 CD⊥AB 交 AB 于点 D，E 是 OB 上一点，直线 CE 与⊙ O 交于点 F，连接 AF 交直线 CD 于点 G．若 AC＝2 2 ，则 AG· AF ＝
.
C
A
D O G
E
F
B
3、如图，已知半圆的直径 OD＝
.
AB＝10，点 C 在半圆上， CB＝6，O 为 AB 的中点， OD⊥AB 交 AC 于点 D，则
C
D
A
O
B
，
4. 如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， BC 是⊙O 的直径， D 是劣弧 ?AC 的中点， BD 交 AC 于点 E，若 BC＝ 5
2
5
，则 DE ＝ CD＝ 2
．
A
E
C
B
O
D
5、如图，已知△ ABC 内接于⊙ 0，且 AB＝A C，直径 AD 交 BC于点 E，F 是 OE 的中点，如果 BD∥CF，BC ＝2 5 ，则 C D＝
.
C
B
D
A F E O
D O O
A A B E C
C
D
E
（第 5 题）
（第 6 题） .
（第 7 题）
B
6、如图，已知⊙ 0 的半径为 4，AB＝6，锐角△ ABC 内接于⊙ 0，BD⊥AC于点 D，OE⊥AB
于点 M，则 sin∠CBD 的值等于
7、如图， AD 是圆内接△ ABC 的高， AE 是 OO的直径， AB＝ 6 ，AC＝ 3 ，则 AE· AD＝ .
8、如图，△ ABC 是⊙0 的内接三角形， A B＝A C，BD 平分∠ ABC 交⊙0 于点 D，连接 AD、CD. 作 AE⊥BD 于点 E，若 AE＝3，DE＝1，则△ ACD 的面积是
.
A
D
O B
E C
9、如图： M、N 分别为直角坐标系 x、y 正半轴上两点，过 M、N 和原点 0 三点的圆和直线 y＝x 交于点 P，
（1）试判断△ PMN 的形状；
（2）连接 MN，设直线 y＝x 交 MN 于点 G，若 PG: PN＝3：4，△PGN的周长为 6，求△ PON 的周长 .
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