§1.7.2 定积分在物理中的应用
【学情分析】：
学生已经学习了一些简单的物理问题，但是还没有接触到使用高等数学中的定积分
解决问题（中学物理不会涉及），所以对于学生而言，本节是他们在中学阶段利用微积分理解和解决物理问题的唯一的一节课．学生经过学习，如果教师引导得当，那么学生无论是对数学的微积分的理解，还是对物理问题的看法都会产生质的飞跃（由现象到本质）．另外，学生在进行本节的内容之前，应该复习一些力学的相关知识，例如功，胡克定律，万有引力定律，电场力等等．要注意从定积分的意义入手，说明不少物理量都可以用定积分进行计算（量的累积）．
【教学目标】：
（1）知识与技能：通过举例复习变速直线运动的路程，引导学生解决变力所作的
功等一些简单的物理问题．
（2）过程与方法：利用问题的物理意义，有时也要注意借助于定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题．
（3）情感态度与价值观：体会数学在物理的应用，也即是在客观物质世界的应用。
【教学重点】：
解决变力所作的功等一些简单的物理问题．进一步巩固利用定积分解决实际问题的思路和方法．
【教学难点】：
理解问题的物理意义，并且转化为数学问题，借助于定积分解决． 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、 变速直线运动的路程问题 师：在我们这一节课里，我们一起来讨论几个常见的物理问题，解决这些问题，将要使用到微积分的知识．在这些问题，我们自然很少用到的变量x，而是会使用到不同的字母（代表不同的物理量）作为变量进行研究和计算． 1．变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v?v(t)(v(t)?0)在时间区间?a,b?上的定积分，即s??v(t)dt． ab简单的说就是路程是速度的积分． （课本P65）例题3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程． v/m/sAB302010OC102030405060t/s
巡视，具体指导学生．找特别的解法．
师（分析）：我们如果能够知道速度函数，就能应用公式计算．请大家独立思考一下应该如何解决． 生：独立解答后再相互交流． 生：根据O，A，B，C四点坐标，确定OA，AB，BC所在的直线方程，写出分段函数v(t)的解析式． 分段函数，分段求定积分． 可以用提问的方生（总结）：首先要根据图象写出解析式，然后用变速直线式让学生思考、讨运动的路程公式求出路程． 论，使学生进一步师：还有其他想法吗？ 从“数形结合”的生：（思考） 角度理解定积分生：可以由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，的概念并解决问也就是速度函数图象与x轴的面积即路程，可以直观地得题． 出路程即为图所示的梯形OABC的面积．即 (30?60)?30?1350(m) 2师（点评）：我们从“数形结合”的角度理解定积分的概念并解决问题，这种解法更为简洁．但是一般只适用于容易求出面积的图形． s?S梯形OABC?二、 变力作功 2．变力作功 师：我们知道一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动s（单位：m），则力F所作的功为W?Fs． 现在问题拓展：如果这个力F是一个变力，即物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x?a移动到x?b(a?b)，那么如何计算变力F(x)所作的功W呢？ 师：我们知道在求变速直线运动的路程，在下图之中 速度v(t)曲线与x轴的所为的面积为路程s，如果把下图的变力F类比为上图的速度v，位移x类比为时间t，那么在下图中， 由学生熟悉的物理背景引入． 恒力作功的问题是学生熟悉的，变力作功的问题是恒力作功问题的自然引申．与求变速直线运动的路程一样．引导学生类比求变速直线运动路程的过程，自己推导出变力作功的公式．进—步体验用定积分解决问题的思想方法． 学生对弹簧的平衡位置和伸长(压缩)量、弹性限度、弹性系数、胡克定律需要有正确的认识,教师在需要的时候要恰当补
FF=F(x)充提示． Oabx 变力作功的问题完全跟变速直线运动相类似，可以用“四部曲 －分割，近似代替，求和，取极限”，解决变力作功的问题． 即W??F(x)dx ab师：变力做功还有一个常见的例子，就是关于弹簧．我们用压缩一个弹簧，弹簧要恢复原长，就要给我们手掌弹力．弹簧压缩越厉害，弹力越大．胡克定律就是说明这样一个事实：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x)?kx． 师：其中常数k是比例系数，称为弹性系数（倔强系数），恒为正值．不同类型的弹簧有不同的k值．例如汽车的底盘的避震系统的弹簧有很大的k值，我们平时使用的活动圆珠笔的弹簧只有很小的k值． 例题4：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功． Ol 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x)?kx，其中常数k是比例系数． 由变力作功公式，得到 l1W??kxdx?kx202l0F1?kl2(J) 2答：克服弹力所作的功为12klJ． 2
三、 实践 新知 练习：1、由物理学知道，质量分别为m1,m2相距为r的两个m1m2，其中G为引力常2r数，引力的方向沿着两质点的连线方向．那么，把质量分质点之间的万有引力的大小为F?G别为m1,m2的两个物体从相距a拉近到相距b，万有引力所作的功是多少？ m1m1bam2m2为练习A组2题，作业B组第4题作一个铺垫 解：依题意得，W??Gbaaa1m1m2dr?Gmmg12?b2dr r2r?1??11?Gm1m2(a?b)?Gm1m2????Gm1m2???? rbaab??b??四、 巩固 新知 1. P67练习1，2 2. P67习题A组2 1. 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数 v?v(t)(v(t)?0)在时间区间?a,b?上的定积分，即s??v(t)dx．ab五、 总结归纳 2. 如果这个力F是一个变力，即物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x?a移动到x?b(a?b)，那么变力F(x)所作的功W??F(x)dx． ab 3. 在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x)?kx，其中常数k是比例系数． 1. P67习题A组3，4，5，6 2. P67习题B组4 六、 布置作业 B组题4平行班可以作为选做 （简单题） 1. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了弹簧拉长6cm，所耗费的功为（ ）
(A)0.18J 答案：A
(B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
0.060.060解释：设F(x)?kx，当F?1N时，x?0.01m，则k?100．W??0100xdx?50x2?0.18(J)
2. 将一弹簧压缩x厘米，需要4x牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，作的功为 答案：0.5焦耳
解释：由F(x)?kx?k?0.04牛顿/米，∴F(x)?0.04x，∴W??0.04xdx?0.02x2?0.05（焦耳）
00553、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 （ ）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J 答案：D
解释：设F(x)?kx，当F?10N时，x?0.1m，则k?100。W??0.060100xdx?50x20.060?0.18(J)
4、物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为s0，则在t1秒末时它所在的位置为（ ） A．
??t10t1v(t)dt B．
D．
s0??v(t)dt0t1
t1C．0答案：B
t1v(t)dt?s0s0??v(t)dt0t1解释：设t1秒末时它所在的位置为S，又在时间?0,t1?段的位移s(t)?S?s0 ，又s(t)??v(t)dt，∴
0S?s0??v(t)dt。
0（难题）
2
5、汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速a?2米/秒刹车，则从开始刹车到停车汽车走了约( )
A．19.75米 B．20.76米 C．22.80米 D．24.76米 答案：A
t808040解释：已知v0?米/秒，∵a(t)?v'(t)??2，∴v(t)?v0??a(t)dt=?2t，停车时v?0，∴t?，
09991600?80?∴s(t)??v(t)dt??t?t2???19.753
81?9?040904096、物体A以速度R?3t?1（米/秒）在一直线上运动，同时物体B也以速度r=10t（米/秒）在同一直线上与A同方向运动，问多少时间后A比B多运动5米，此时，A、B走的距离各是多少？ 解析 依题意物体A、B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解。 解 A从开始到t秒所走的路程为：
2SA??(3t2?1)dt?t3?t0t。
B从开始到t秒所走的路程为：
SB??10tdt?5t20t。
32 由题意：SA?SB?5，即t?t?5t?5 解得t=5（秒）
3S?5?5?130（米）A 此时：，
2 SB?5?5?125（米）。
答：5秒后A比B多运动5米，此时，A、B走的距离分别是130米和125米。
高中数学教案 1.7定积分的简单应用第2课时
