2015-2016学年北京市临川育人学校八年级（下）第一次月考数学试
卷
一、填空题（每题3分，共30分）
1．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 2．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度． 3．“等边对等角”的逆命题是 ． 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 ． 5．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 ． 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 ．
7．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题． 8．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为 ． 9．已知：如图所示，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D= 度．
10．已知：如图所示，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED= 度．
二、选择题（每题3分，共30分） 11．下列语言是命题的是（ ） A．画两条相等的线段
B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等．
12．面积相等的两个三角形（ ） A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对
13．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点． A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高
14．如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D
15．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．70° 16．如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ） A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm2
18．如果a、b表示两个负数，且a＜b，则（ ） A．
B．
C．
D．ab＜1
19．a，b是有理数，下列说法成立的是（ ） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则|a|≠|b| D．若|a|≠|b|，则a≠b 20．由x＜y得到ax＞ay的条件是（ ） A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
三、解答题（共计60分）
21．如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB．
22．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．
23．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
24．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．
25．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
26．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知： ． 求证： ． 证明：
27．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴ = （ ）． 同理可得，PB= ．
∴ = （等量代换）．
∴ （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ） ∴AB、BC、AC的垂直平分线 ．
28．概念考察． （1）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ） （2）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ） （3）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ） （4）判定： 的两个三角形全等．（字母表示：AAS） （5）简述“三线合一”： ． （6）勾股定理的内容是： ．
（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ． （8）角平分线上的点到角两边的距离 ．
2015-2016学年北京市临川育人学校八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，共30分）
1．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可． 【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0， 解得a=1，b=2，
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2，
∴不能组成三角形，
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+2+1=5． 故答案为：5．
2．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 20或80 度． 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由于等腰三角形的顶角不能确定，故应分80°是等腰三角形的顶角或底角两种情况进行讨论．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，顶角为80°； 当80°是等腰三角形的低角时，顶角=180°﹣80°×2=20°． 故答案为：20或80．
3．“等边对等角”的逆命题是 等角对等边 ． 【考点】命题与定理．
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题； 【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 PA=PB=PC ． 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质，首先可得PA=PB，进而得到PB=PC，于是答案可得．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P， ∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P， ∴PB=PC， ∴PA=PB=PC． 故填PA=PB=PC．
5．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 16或17 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5；（2）当等腰三角形的腰为6；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16． ②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17． 故这个等腰三角形的周长是16或17． 故答案为：16或17．
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 3或3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】分①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答． 【解答】解：①三角形是钝角三角形时，如图1， ∵∠ABD=30°， ∴AD=AB=×6=3， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=（90°﹣30°）=30°， ∴∠ABD=∠ABC，
∴底边BC上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°， ∴∠A=90°﹣30°=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴底边上的高为
×6=3
，
．
综上所述，底边上的高是3或3故答案为：3或3．
7．命题“任意两个直角都相等”的条件是 两个角都是直角 ，结论是 相等 ，它是 真 （真或假）命题． 【考点】命题与定理．
【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．
【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等． 它是真命题．
8．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为 30° ． 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据AB=AC，∠A=40°求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ABD=40°即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=已知：如图所示，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D= 180 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】本题主要利用平行线的性质进行做题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C． 又∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°， 即∠B+∠D=180度． 故填180．
10．已知：如图所示，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED= 78 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】首先做一条辅助线，平行于两直线，再利用平行线的性质即可求出．
【解答】解：过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∵AB∥EF，
∴∠1=180°﹣∠ABE=180°﹣130°=50°； ∵EF∥CD，
∴∠2=180°﹣∠CDE=180°﹣152°=28°； ∴∠BED=∠1+∠2=50°+28°=78°． 故填78．
二、选择题（每题3分，共30分） 11．下列语言是命题的是（ ） A．画两条相等的线段
B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等． 【考点】命题与定理．
【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，分别判断得出答案即可．
【解答】解：根据命题的定义：
只有答案D、两直线平行，内错角相等．对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确； 故选：D．
12．面积相等的两个三角形（ ） A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对 【考点】全等三角形的判定．
【分析】两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边和对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等．
【解答】解：因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等． 故选C．
13．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点． A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选B．
14．如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D 【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，BC=EF，可以加∠ACB=∠F，就可以用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：A，添加∠A=∠D，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF； B，添加∠ACB=∠F，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF； C，添加∠B=∠DEF，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
D，添加∠ACB=∠D，两角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF； 故选B．
15．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．70° 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC， 设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=可得2x=解得：x=36°， 则∠A=36°， 故选B
，
，
16．如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC=AF，故①正确； ∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误； EF=BC，故③正确；
∠EAB=∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选C．
17．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
2222
A．24cm B．30cm C．40cm D．48cm 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】因为三角形的边长是6cm、8cm、10cm，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，从而可求出面积．
222
【解答】解：∵6+8=10， ∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为：×6×8=24．
故选A．
18．如果a、b表示两个负数，且a＜b，则（ ） A．
B．
C．
D．ab＜1
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质，两边都除以b判断出A、B，两边都除以ab，判断出C即可得解．
【解答】解：∵a、b表示两个负数， ∴a＜b两边都除以b得，＞1， 故A选项正确，B选项错误； ∵a、b表示两个负数， ∴ab＞0，
∴a＜b都除以ab得，＜，故C选项错误；
D、只能判断出ab＞0，但无法说明ab＜1，故本选项错误． 故选A．
19．a，b是有理数，下列说法成立的是（ ） A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则|a|≠|b| D．若|a|≠|b|，则a≠b 【考点】有理数的乘方；绝对值．
【分析】根据有理数的乘方与绝对值的性质对各选项举反例说明即可． 【解答】解：A、若a=1，b=﹣2，则a2＜b2，故本选项错误； B、若a=﹣2，b=1，则a2＞b2但a＜b，故本选项错误； C、若a=5，b=﹣5，则a≠b但|a|≠|b|，故本选项错误； D、若|a|≠|b|，则a≠b正确，故本选项正确． 故选D．
20．由x＜y得到ax＞ay的条件是（ ） A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：∵由x＜y得到ax＞ay，不等号的方向发生了可改变， ∴a＜0． 故选D．
三、解答题（共计60分）
21．如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得结论． 【解答】解：如图，∵DC⊥CA，EA⊥CA， ∴∠C=∠A=90°， ∴在△BCD与△EAB中，
，
∴△BCD≌△EAB（SAS）．
22．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．
【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形．
【分析】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质求出DE=1，求出∠C=45°，解直角三角形求出DC即可．
【解答】解：
过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1， ∴DE=BD=1，
∵∠B=90°，AB=BC， ∴∠C=∠BAC=45°， 在Rt△DEC中，sin45°=
，
∴DC==．
23．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， 又∵DE垂直平分AB， ∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故答案为：30°．
24．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF． 【解答】证明：∵AF=DC， ∴AC=DF，
又∵AB=DE，∠A=∠D， ∴△ACB≌△DEF， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF．
25．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【解答】解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求， 此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点． 26．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知： 在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE ． 求证： ∠1=∠2 ． 证明：
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题．
【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2． 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE， 求证：∠1=∠2．
证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∠1=∠2．
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE． 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2， 求证：BD=CE． 证明：∵∠1=∠2
∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE． 27．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴ PB = PA （ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ）． 同理可得，PB= 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ． ∴ PA = PC （等量代换）．
∴ 点P是AC边垂直平线上的一点 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上 ）
∴AB、BC、AC的垂直平分线 相交于点P ．
【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论． 【解答】证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． ∴PA=PC（等量代换）．
∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
故答案为：PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．
28．概念考察．
（1）公理： 两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等，（简称 边角边 ，字母表示 SAS ）
（2）公理： 三边对应相等 的两个三角形全等，（简称 边边边 ，字母表示 SSS ） （3）公理： 两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等，（简称 角边角 ，字母表示 ASA ）
（4）判定： 两角和其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等．（字母表示：AAS） （5）简述“三线合一”： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ．
（6）勾股定理的内容是： 直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方 ． （7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ． （8）角平分线上的点到角两边的距离 相等 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可得出结果． 【解答】解：（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称：边角边或SAS； 故答案为：两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS； （2）三边对应相等的两个三角形全等，边边边，SSS； 故答案为：三边对应相等，简称：边边边或SSS
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称：角边角或ASA； 故答案为：两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA
（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：角角边或AAS； 故答案为：两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；
（5）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合； （6）勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方； 故答案为：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方； （7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 故答案为：相等；
（8）角平分线上的点到角两边的距离相等； 故答案为：相等．
八年级数学下学期第一次月考试卷 新人教版
