2004年上海市高中数学竞赛(CASIO杯)
2004年3月28日星期日上午8:30——10:30
一、填空题(每小题7分)
1.若a、b、c都是正整数,且a = (b+ci)3?47i,则a的值是_____。
2.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c。若a2 + b2 = tc2,且cotC=2004(cotA+cotB),
则常数t=_____。
3.三边长是连续的3个整数,且它的周长小于或等于100的锐角三角形有_____个。
PP…PP,P,P,??,P,其中依次是从小到大排列的质数4.设Mk=P2,3,5,…中的前k个质数。若123k123ks,t是两个正整数,t>s,使Mt?Ms=510300,则s+t的值是_____。
5.n为已知正整数,0≤r≤n,r∈Z,则当r!(n?r)!取最小值时,r=_____。
6.当x、y都是实数时,集合A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},c={(x,y)|x2 + y2 =1},若
(A∪B)∩C是两个元素构成的集合,则实数a=_____。
222
7.已知集合M={(a,b)|(y+4)a?2(xy+by+8)a+x+2bx+2b2+12是关于x、y的一次式的平方},
当(a,b)取遍集合中的所有元素时,点(a,b)到原点的最大距离是_____。
8.三个半径都是10cm的小球放在一个半球形的碗中,小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一平面内,橙
子奥数工作室录入暗记,则这个碗的半径是_____。
9.F是抛物线焦点,O为抛物线的顶点,AB为与该抛物线的对称轴成45°角的焦点弦,则∠AOB的大
小为(用反三角函数表示)_____。
10.已知集合A={3k+2|0≤k≤667,k∈Z}。若在A中任取个n数,都能从中找到两个不同的数a、b使a + b = 2104,则n的最小值为_____。
二、解答题(第11、12题16分,第13题18分)
11.已知f(x)=x3+mx2+nx+5,m、n都是整数。求:
(1)使f(x)=0有三个整数根(包括重根)的所有数组(m,n)(2)使f(x)=0至少有一个整数根,且m,n∈[0,5]的所有的数组(m,n)
12.数列{an}满足(n?1)an+1=(n+1)an?2(n?1),n∈N+且a100=10098,求数列{an}的通项公式。13.在各位数码各不相同的10位数中,是11111的倍数的有多少个?证明你的结论。
nn?1n+1,当n为奇数时,为或 222
简略答案:1.52 2.4009 3.29 4.11 5.当n为偶数时为
6.0或1 7.2212142341 8.10(1+(或π?arctan) 10.352 11.⑴) 9.π?arccos33341(7,11)、(3,?9)、(?5,?1)⑵(5,1) 12.(n?1)(n+2) 13.3456个
2003年上海市高中数学竞赛(CASIO杯)试题
(2003年3月30日 星期日 上午8:30-10:30)
一、填空题:(本题10小题,每小题7分,共70分)
1、已知二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式的值为1,两实根之积为4,则动点(b,c)的轨迹方程 为__________.
2、在平面α上有一个△ABC,∠ABC=60°,AC=3.在平面α的两侧分别有点S、T,满足
SA=SB=SC=2,TA=TB=TC=3,则ST的长为_____. 3、不等式1+2x<3x的解是__________.
4、函数f(x)=|x2?a|在区间[?1,1]上的最大值M(a)=_____.
5、△ABC是边长为5的正三角形,P为其内一点,使PA=4,PB=3,则PC=_____.6、数列{an}的前n项和 Sn=cnan(n是正整数,c为实常数)且a1≠a2,则7、[x]表示不超过实数x的最大整数.设实数x不是整数且x+
a100
=_____.a99
9999
,则x=_____. =[x]+
x[x]
8、若关于x的方程x2?6x+a=0与x2+26x+b=0的四个实根适当排列后可构成一个首项为1的等比数
a
列,则的值为____.
b
9、已知对一切实数x恒有f(x+4)+f(x?4)=f(x)的函数f(x)都是周期函数,则它们的公共正周期的最
小值为_____.
xy110、若对一切正实数x、y,恒有≤,则k的最大值为_____.
(x2+y2)(3x2+y2)k
二、(16分) 已知a、b为实数,i为虚数单位,且关于z的二次方程
4z2+ (2a+i)z?8b(9a+4)?2(a+2b)i=0至少有一个实根,求这个实根的最大值.三、(16分) 已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.
(1) 求a、b、c中最大者的最小值;(2) 求|a|+|b|+|c|的最小值.
四、(18分)已知a、b、c为实数,且三次方程x3?ax2+bx?c=0有三个实根,试用a、b、c给出使三个实根为某三角形三边长的一个充要条件,并证明你的结论.
命题人:李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬
11时为1?a,当a>时22
简略答案:一、1.x2?y2=1(y≠0) 2.3+22 3.x>1 4.当a≤为a 5.25?123 6.
9935+1 三、(1) 7.?9.9 8.1 9.24 10.1+3 二、
985
4 (2)6 四、a、b、c都是正数,且?a3+4ab?8c>0
2002年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题:(每小题7分,共70分)
x2y2
1.一个正三角形ABC内接于椭圆+=1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A的高在y轴上,则此
94 正三角形的边长为_____.
xsinθcosθcos2θsin2θ10,,则的值为_____.=2.已知x、y为正数,且+=
xyyx2y23(x2+y2)
n2
3.袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重?5n+23克,这些球
3
以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率
为_____.(用分数作答)
4.正四棱台的上底、下底及侧面(四个等腰梯形)的面积之比为2:5:8,则侧面与底面所成角的大小为_____.
t2?4)x恒成立,则t的取值范围是__________.5.若对|x|≤1的一切x,t + 1> (
6.实数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=5,则(a?b)2+(a?c)2+(a?d)2+(b?c)2+(b?d)2+(c?d)2的最大值是_____.
2
7.定义在N+上的函数f 满足f (1) = 2002和f (1) + f (2) +…+ f (n) = nf (n) (n > 1),则f (2002) = _____.8.已知函数f(x)=
1
(1?x+1?2x+2x2),x∈[ 2,4 ],则该函数的值域是_____.
2x
9.△ABC中,∠B =∠C,点P、Q分别在边AC、AB上,若AP = PQ = QB = BC,则∠A的大小是_____.
10.棱长为1的正四面体,在平面上投影面积的最大值是_____.
且对一切正整数n,{bn}都是等差数列,Tn,(31n+3)Sn二、(16分)已知数列{an}、它们的前n项和分别是Sn、
(1)求b28/a28的值;(2)求使bn/an为整数的所有正整数n.= (3n+31) Tn.
三、(16分)设F是所有有序n元组(A1,A2 ,…,An)构成的集合,其中Ai(1≤i≤ n)都是集合{ 1,2 ,3,…, 2002 }的子集,设 | A | 表示集合A的元素的数目,对F中的所有元素(A1,A2 ,…,An),求 | A1∪A2∪…∪An | 的总和,橙子奥数工作室防盗暗记,即
(A1,A2,??,An)∈F
∑
|A1∪A2∪??∪An|.
四、(18分)纸上写有1,2,…,n这n个正整数,第1步划去前面 4个数:1,2,3,4,在n的后面写上划去的
4个数的和10;第2步再划去前面4个数:5,6,7,8,在最后写上划去的4个数的和26;如此下去(即每
.步划去前面4个数,在最后面写上划去的4个数的和) (1)若最后只剩下一个数,则n应满足的充要条件是什么?
(2)取n=2002,求只剩下一个数为止所有写出的数(包括原来的1,2,…,2002)的总和.
命题人:李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬
72331213?121+1 3 5.简略答案:一、arccos[,] 6.1. 2.3或 3. 4.20 7.313852003822
6115?11
(1)(2)n = 1,18,35,154 三、2002(22002n?22001n)8.[,] 9.20° 10. 二、
724 4800 878 四、(1)n 除以3余1 (2)12
2001年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题(每小题7分,共70分)
x100 =?1, x2 + x4 + … + x2k + x100 = 1,其通项公式是xn= _____.1.等差数列{xn}满足x1 + x2 + x3 + … +
????1??????????????2
2.向量a={1,2},b={?2,1},正数k和t使x=a+(t+1)b与y=?ka+b垂直,则k的最小值是_____.
t
222
3.设P是抛物线y = 2x上的点,Q是圆(x?5) + y =1上的点,则 |PQ| 的最小值是_____.
cosαα成等差数列,则αβsec(+2),4.α是锐角,β是钝角,且sec(α?2β),sec=_____. cosβ
与点D5.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A (0,2)与点B (4,0)重合,若此时点C (7,3)
(m,n)重合,则m + n的值是_____.
45°,则相邻两个侧面的所成角的大小是_____.6.已知正四棱锥的底面与侧面的夹角为
当且仅当k满足a≤k≤b时,两曲线x2 + y2 = 4 + 12x + 6y与x2 + y2 = k + 4x + 12y有公共点,则b?a的7.
值是_____.
8.已知点集A = {(x , y) | x = Im(z) , y = Im(z2) , z∈C , | z | = 1},B = {( x, y) | x2 + y2≤r2 , r > 0},且A?B,则r的最小值是_____.
9.“渐升数”是指每个数字比其左边数字大的正整数,如34689.已知有C5.若9=126个五位“渐升数”把这些数按照从小到大的顺序排列,第100个数是_____.
x2+(2a2+2)x?a2+4a?7
10.橙子奥数工作室防盗暗记.若关于x的不等式2 2<0的解集是一些区间的
x+(a+a?5)x?a2+4a?7
并集,且这些区间的长度之和不小于4,则实数a的取值范围是__________.
二、(16分)设A、B、Ai(1≤i≤k)为集合.
(1)满足A∪B={a,b}的集合有序对(A,B)有多少对?(2)满足A∪B={a1,a2,…,an}的集合有序对(A,B)有多少对?
(3)满足A1∪A2∪??∪Ak={a1,a2,…,an}的集合有序组(A1,A2,…,Ak)有多少组?为什么?
?12n
?
三、(16分)某出版公司为一本畅销书定价如下:C(n)=?11n
?10n?
(1≤n≤24)(25≤n≤48) (49≤n)
这里n表示订书的数量,C(n)是订购本书所付的钱款数(单位:元).
(1)有多少n个,会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少?
(2)若一本书成本价是5元,现在两人来买书,每人至少买一本,两人共买60本,则出版公司至少能赚多少钱?至多能赚多少钱?
2000
1 四、(18分)实数x1,x2,…,x2001满足∑|xk?xk+1|=2001.令yk=(x1+x2+??+xk),k = 1,2,…,2001.kk=1
2000
求∑|y k?yk+1|的最大值.
k=1
(命题人:李大元 刘鸿坤 熊 斌 叶声扬 余应龙)
1.3n/50?152/50 2.2 3.2 4.?2 5.34/5 6.120° 7.140 8.5/4简略答案:一、
9.24789 10.(?∞,1]∪[3,+∞) 二、(1)9 (2)3n (3)(2k?1)n 三、(1)有六个n:23、24、45、46、47、48 (2)最少赚302元,最多赚384元 四、2000
2000年上海市高中数学竞赛试题
(2000年3月19日星期日上午8:30--10:30)
(说明)解答本试卷不得使用计算器
一、填空题(本题10小题,每小题7分,共70分)
sinkxx
,则k的值是_____.1.若函数f(x)=cot?cotx又能写成f(x)=
x4sinsinx42.sin10°+2sin10°sin20°sin40°的值是_____.
3.设{an}是一个等差数列,a1 = 19,a21=3,记An= an + an+1 + … + an+6,则 |An| 的最小值为_____. 4.由方程|x?6|+|y|=|
π2
|所对应的曲线围成的图形的面积是_____.
C内切的圆的圆心轨迹方程是_____.5.两个圆C1:x2+y2=1和C2:(x?2)2+y2=16,则与C1外切且与26.若[x]表示不超过实数x的最大整数,则方程[cot x] = 2cos2x的解集是 __________.
7.数列{an}中,a1=?1,a2=1,a3=?2,若对一切正整数n都有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,且
an+1an+2an+3≠1,橙子奥数工作室防盗暗记,则该数列的前4321项的和S4321的值是________.
8.已知a∈Z,且x6?33x + 20能被x2?x + a整除,则a的值是________.9.在四面体ABCD中,AD = DB = AC = CB = 1,则它的体积的最大值是________.
10.在1,3,5,7 ,…,99这50个连续奇数中任取k个数,使得在这k个数中必存在三个数,以这三k的最小值是________.个数为边长可以组成三角形,则
二、(16 分)橙子奥数工作室防盗暗记.1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有如下性质:对于1≤i≤4,
a1,a2,??,ai不构成 1,2,??,i的某个排列,求这种排列的个数.
三、(16分)有多少个正整数有序数对(x,y),具有如下性质:y xx+1 和都是整数?yy+1 四、(18分)设P1,P2,…,Pn是n个不同质数,用这些质数作为项(允许重复),任意组成一个数列,使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方.证明:这种数列的项数有最大值(记为L(n)),并求L(n)的表达式. 简略答案 731(x?1)2y2ππ+=1 6.{x|x=kπ+或x=lπ+,k、l∈Z} 一、1. 2. 3. 4.24 5. 525/421/42444 7.?4321 8.4 9.23/27 10.9 二、21 三、85 四、2n?1
上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012) - 图文
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