2004年上海市高中数学竞赛（CASIO杯）
2004年3月28日星期日上午8：30——10：30
一、填空题（每小题7分）
1．若a、b、c都是正整数，且a = (b+ci)3?47i，则a的值是_____。
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c。若a2 + b2 = tc2，且cotC=2004(cotA+cotB)，
则常数t=_____。
3．三边长是连续的3个整数，且它的周长小于或等于100的锐角三角形有_____个。
PP…PP,P,P,??,P，其中依次是从小到大排列的质数4．设Mk=P2，3，5，…中的前k个质数。若123k123ks,t是两个正整数，t>s，使Mt?Ms=510300，则s+t的值是_____。
5．n为已知正整数，0≤r≤n，r∈Z，则当r!(n?r)!取最小值时，r=_____。
6．当x、y都是实数时，集合A={(x,y)|ax+y=1}，B={(x,y)|x+ay=1}，c={(x,y)|x2 + y2 =1}，若
(A∪B)∩C是两个元素构成的集合，则实数a=_____。
222
7．已知集合M={(a,b)|(y+4)a?2(xy+by+8)a+x+2bx+2b2+12是关于x、y的一次式的平方}，
当（a,b）取遍集合中的所有元素时，点（a,b）到原点的最大距离是_____。
8．三个半径都是10cm的小球放在一个半球形的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一平面内，橙
子奥数工作室录入暗记，则这个碗的半径是_____。
9．F是抛物线焦点，O为抛物线的顶点，AB为与该抛物线的对称轴成45°角的焦点弦，则∠AOB的大
小为（用反三角函数表示）_____。
10．已知集合A={3k+2|0≤k≤667,k∈Z}。若在A中任取个n数，都能从中找到两个不同的数a、b使a + b = 2104，则n的最小值为_____。
二、解答题（第11、12题16分，第13题18分）
11．已知f(x)=x3+mx2+nx+5，m、n都是整数。求：
（1）使f(x)=0有三个整数根（包括重根）的所有数组（m，n）（2）使f(x)=0至少有一个整数根，且m,n∈[0,5]的所有的数组（m，n）
12．数列{an}满足(n?1)an+1=(n+1)an?2(n?1)，n∈N+且a100=10098，求数列{an}的通项公式。13．在各位数码各不相同的10位数中，是11111的倍数的有多少个？证明你的结论。
nn?1n+1，当n为奇数时，为或 222
简略答案：1．52 2．4009 3．29 4．11 5．当n为偶数时为
6．0或1 7．2212142341 8．10(1+（或π?arctan） 10．352 11．⑴) 9．π?arccos33341（7，11）、（3，?9）、（?5，?1）⑵（5，1） 12．(n?1)(n+2) 13．3456个
2003年上海市高中数学竞赛(CASIO杯)试题
(2003年3月30日 星期日 上午8：30-10：30)
一、填空题：(本题10小题，每小题7分，共70分)
1、已知二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式的值为1，两实根之积为4，则动点(b，c)的轨迹方程 为__________．
2、在平面α上有一个△ABC，∠ABC=60°，AC=3．在平面α的两侧分别有点S、T，满足
SA=SB=SC=2，TA=TB=TC=3，则ST的长为_____． 3、不等式1+2x<3x的解是__________．
4、函数f(x)=|x2?a|在区间[?1,1]上的最大值M(a)=_____．
5、△ABC是边长为5的正三角形，P为其内一点，使PA=4，PB=3，则PC=_____．6、数列{an}的前n项和 Sn=cnan(n是正整数，c为实常数)且a1≠a2，则7、[x]表示不超过实数x的最大整数．设实数x不是整数且x+
a100
=_____．a99
9999
，则x=_____． =[x]+
x[x]
8、若关于x的方程x2?6x+a=0与x2+26x+b=0的四个实根适当排列后可构成一个首项为1的等比数
a
列，则的值为____．
b
9、已知对一切实数x恒有f(x+4)+f(x?4)=f(x)的函数f(x)都是周期函数，则它们的公共正周期的最
小值为_____．
xy110、若对一切正实数x、y，恒有≤，则k的最大值为_____．
(x2+y2)(3x2+y2)k
二、(16分) 已知a、b为实数，i为虚数单位，且关于z的二次方程
4z2+ (2a+i)z?8b(9a+4)?2(a+2b)i=0至少有一个实根，求这个实根的最大值．三、(16分) 已知实数a、b、c满足a+b+c=2，abc=4．
(1) 求a、b、c中最大者的最小值；(2) 求|a|+|b|+|c|的最小值．
四、(18分)已知a、b、c为实数，且三次方程x3?ax2+bx?c=0有三个实根，试用a、b、c给出使三个实根为某三角形三边长的一个充要条件，并证明你的结论．
命题人：李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬
11时为1?a，当a>时22
简略答案：一、1．x2?y2=1(y≠0) 2．3+22 3．x>1 4．当a≤为a 5．25?123 6．
9935+1 三、（1） 7．?9.9 8．1 9．24 10．1+3 二、
985
4 （2）6 四、a、b、c都是正数，且?a3+4ab?8c>0
2002年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题：（每小题7分，共70分）
x2y2
1．一个正三角形ABC内接于椭圆+=1，顶点A的坐标为（0，2），过顶点A的高在y轴上，则此
94 正三角形的边长为_____．
xsinθcosθcos2θsin2θ10，，则的值为_____．=2．已知x、y为正数，且+=
xyyx2y23(x2+y2)
n2
3．袋里装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码为n的球重?5n+23克，这些球
3
以同等的机会（不受其重量的影响）从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们重量相等的概率
为_____．（用分数作答）
4．正四棱台的上底、下底及侧面（四个等腰梯形）的面积之比为2:5:8，则侧面与底面所成角的大小为_____．
t2?4)x恒成立，则t的取值范围是__________．5．若对|x|≤1的一切x，t + 1> (
6．实数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=5，则(a?b)2+(a?c)2+(a?d)2+(b?c)2+(b?d)2+(c?d)2的最大值是_____．
2
7．定义在N+上的函数f 满足f (1) = 2002和f (1) + f (2) +…+ f (n) = nf (n) (n > 1)，则f (2002) = _____．8．已知函数f(x)=
1
(1?x+1?2x+2x2)，x∈[ 2，4 ]，则该函数的值域是_____．
2x
9．△ABC中，∠B =∠C，点P、Q分别在边AC、AB上，若AP = PQ = QB = BC，则∠A的大小是_____．
10．棱长为1的正四面体，在平面上投影面积的最大值是_____．
且对一切正整数n，{bn}都是等差数列，Tn，(31n+3)Sn二、（16分）已知数列{an}、它们的前n项和分别是Sn、
（1）求b28/a28的值；（2）求使bn/an为整数的所有正整数n．= (3n+31) Tn．
三、（16分）设F是所有有序n元组(A1,A2 ,…,An)构成的集合，其中Ai(1≤i≤ n)都是集合{ 1,2 ,3,…, 2002 }的子集，设 | A | 表示集合A的元素的数目，对F中的所有元素(A1,A2 ,…,An)，求 | A1∪A2∪…∪An | 的总和，橙子奥数工作室防盗暗记，即
(A1,A2,??,An)∈F
∑
|A1∪A2∪??∪An|．
四、（18分）纸上写有1,2,…,n这n个正整数，第1步划去前面 4个数：1,2,3,4，在n的后面写上划去的
4个数的和10；第2步再划去前面4个数：5,6,7,8，在最后写上划去的4个数的和26；如此下去（即每
．步划去前面4个数，在最后面写上划去的4个数的和） （1）若最后只剩下一个数，则n应满足的充要条件是什么？
（2）取n=2002，求只剩下一个数为止所有写出的数（包括原来的1,2,…,2002）的总和．
命题人：李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬
72331213?121+1 3 5．简略答案：一、arccos[,] 6．1． 2．3或 3． 4．20 7．313852003822
6115?11
（1）（2）n = 1，18，35，154 三、2002(22002n?22001n)8．[,] 9．20° 10． 二、
724 4800 878 四、（1）n 除以3余1 （2）12
2001年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题（每小题7分，共70分）
x100 =?1, x2 + x4 + … + x2k + x100 = 1，其通项公式是xn= _____．1．等差数列{xn}满足x1 + x2 + x3 + … +
????1??????????????2
2．向量a={1,2},b={?2,1}，正数k和t使x=a+(t+1)b与y=?ka+b垂直，则k的最小值是_____．
t
222
3．设P是抛物线y = 2x上的点，Q是圆(x?5) + y =1上的点，则 |PQ| 的最小值是_____．
cosαα成等差数列，则αβsec(+2),4．α是锐角，β是钝角，且sec(α?2β),sec=_____． cosβ
与点D5．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0，2)与点B (4，0)重合，若此时点C (7，3)
(m，n)重合，则m + n的值是_____．
45°，则相邻两个侧面的所成角的大小是_____．6．已知正四棱锥的底面与侧面的夹角为
当且仅当k满足a≤k≤b时，两曲线x2 + y2 = 4 + 12x + 6y与x2 + y2 = k + 4x + 12y有公共点，则b?a的7．
值是_____．
8．已知点集A = {(x , y) | x = Im(z) , y = Im(z2) , z∈C , | z | = 1}，B = {( x, y) | x2 + y2≤r2 , r > 0}，且A?B，则r的最小值是_____．
9．“渐升数”是指每个数字比其左边数字大的正整数，如34689．已知有C5．若9=126个五位“渐升数”把这些数按照从小到大的顺序排列，第100个数是_____．
x2+(2a2+2)x?a2+4a?7
10．橙子奥数工作室防盗暗记．若关于x的不等式2 2<0的解集是一些区间的
x+(a+a?5)x?a2+4a?7
并集，且这些区间的长度之和不小于4，则实数a的取值范围是__________．
二、（16分）设A、B、Ai（1≤i≤k）为集合．
（1）满足A∪B={a,b}的集合有序对(A,B)有多少对？（2）满足A∪B={a1,a2,…,an}的集合有序对(A,B)有多少对？
（3）满足A1∪A2∪??∪Ak={a1,a2,…,an}的集合有序组(A1,A2,…,Ak)有多少组？为什么？
?12n
?
三、（16分）某出版公司为一本畅销书定价如下：C(n)=?11n
?10n?
(1≤n≤24)(25≤n≤48) (49≤n)
这里n表示订书的数量，C(n)是订购本书所付的钱款数（单位：元）．
（1）有多少n个，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？
（2）若一本书成本价是5元，现在两人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司至少能赚多少钱？至多能赚多少钱？
2000
1 四、（18分）实数x1,x2,…,x2001满足∑|xk?xk+1|=2001．令yk=(x1+x2+??+xk)，k = 1,2,…,2001．kk=1
2000
求∑|y k?yk+1|的最大值．
k=1
（命题人：李大元 刘鸿坤 熊 斌 叶声扬 余应龙）
1．3n/50?152/50 2．2 3．2 4．?2 5．34/5 6．120° 7．140 8．5/4简略答案：一、
9．24789 10．(?∞,1]∪[3,+∞) 二、（1）9 （2）3n （3）(2k?1)n 三、（1）有六个n：23、24、45、46、47、48 （2）最少赚302元，最多赚384元 四、2000
2000年上海市高中数学竞赛试题
（2000年3月19日星期日上午8:30--10:30）
（说明）解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题10小题，每小题7分，共70分）
sinkxx
，则k的值是_____．1．若函数f(x)=cot?cotx又能写成f(x)=
x4sinsinx42．sin10°+2sin10°sin20°sin40°的值是_____．
3．设{an}是一个等差数列，a1 = 19，a21=3，记An= an + an+1 + … + an+6，则 |An| 的最小值为_____． 4．由方程|x?6|+|y|=|
π2
|所对应的曲线围成的图形的面积是_____．
C内切的圆的圆心轨迹方程是_____．5．两个圆C1:x2+y2=1和C2:(x?2)2+y2=16，则与C1外切且与26．若[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程[cot x] = 2cos2x的解集是 __________．
7．数列{an}中，a1=?1,a2=1,a3=?2，若对一切正整数n都有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，且
an+1an+2an+3≠1，橙子奥数工作室防盗暗记，则该数列的前4321项的和S4321的值是________．
8．已知a∈Z，且x6?33x + 20能被x2?x + a整除，则a的值是________．9．在四面体ABCD中，AD = DB = AC = CB = 1，则它的体积的最大值是________．
10．在1，3，5，7 ，…，99这50个连续奇数中任取k个数，使得在这k个数中必存在三个数，以这三k的最小值是________．个数为边长可以组成三角形，则
二、（16 分）橙子奥数工作室防盗暗记．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有如下性质：对于1≤i≤4，
a1,a2,??,ai不构成 1,2,??,i的某个排列，求这种排列的个数．
三、（16分）有多少个正整数有序数对(x,y)，具有如下性质：y xx+1 和都是整数？yy+1 四、（18分）设P1，P2，…，Pn是n个不同质数，用这些质数作为项（允许重复），任意组成一个数列，使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方．证明：这种数列的项数有最大值（记为L(n)），并求L(n)的表达式． 简略答案 731(x?1)2y2ππ+=1 6．{x|x=kπ+或x=lπ+，k、l∈Z} 一、1． 2． 3． 4．24 5． 525/421/42444 7．?4321 8．4 9．23/27 10．9 二、21 三、85 四、2n?1
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
