2006年上海市高中数学竞赛答案
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1、
1
2、20100 27
3n
3、 4、
26
5、1003 6、0≤a<4，b＝0 7、
二、解答题
s2
4(m+n+p)(m+n?p)(p+m?n)(n+p?m) 8、f(x)=
1
+2006 x
9．（本题满分14分） 已知抛物线y2=2px(p>0)，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为θ(0<θ<π)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B′，连接BO，交准线于点A′，求四边形ABB′A′的面积．
解 当θ=当θ≠
π2
时，SABB′A′=2p2． …………………（4分） π2
时，令k=tanθ．设
yA/AA(x1,y1),B(x2,y2)，则由
p
y=k(x?)， ①
2y2=2px， ②
消去x得，y2?
2p
y?p2=0，所以 k
OB/FBx y1+y2=
2p
， y1y2=?p2． ③ k
y12px，即为y=x，所以，AO与准线的交点的x1y1
又直线AO的方程为：y=
pp2p2
坐标为B′(?,?)，而由③知，y2=?，所以B和B′的纵坐标相等，从而
y1y12BB′??x轴．同理AA′??x轴，故四边形ABB′A′是直角梯形．………………（9分）
所以，它的面积为
11
SABB′A′=(AA′+BB′)?A′B′=AB?A′B′
221(x2?x1)2+(y2?y1)2?y2?y1 =2=
11112
(y2?y1)21+2=1+2?(yy)+?4y1y2?12??2k2k2
3
2
3
1??22
=2p?1+2?=2p(1+cotθ)2．………………（14分）
k??
10．（本题满分14分） 数列{an}定义如下：a1=1，且当n≥2时，
?an+1,当n为偶数时，??2
an=?1
,当n为奇数时．?a??n?1
已知an=
30
，求正整数n． 19
解 由题设易知，an>0,n=1,2,L．又由a1=1，可得，当n为偶数时，an>1；当n(>1)是奇数时，an=
1
<1． ………………（4分） an?1
由an=
303011n>1，所以n为偶数，于是an=?1=<1，所以，是奇数． 19191922
于是依次可得：
an=
2
?1
19n
>1， ?1是偶数， 112
an?2=
4
198n?2?1=<1，是奇数， 11114
11n?6
>1，是偶数， 84
an?2=
4
?1
an?6=
8
113n?6?1=<1，是奇数， 888
8n?14
>1，是偶数， 38
an?6=
8
?1
85n?14an?14=?1=>1，是偶数，
331616
52n?14
是奇数， ……………（9分） an?14=?1=<1，
333232
an?14=
32
?1
3n?46
>1，是偶数， 232
an?46=
64
31n?46?1=<1，是奇数， 2264
n?110
是偶数， 64
an?46=2>1，
64
?1
an?110=2?1=1，
128
所以，
n?110
=1，解得，n＝238． ……………… （14分） 128
11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？
解 设不同的染色法有pn种．易知p3=6． ………………（4分） 当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an?1均有2种染法．对于边an，用与边an?1不同的2种颜色染色，但
ana1an-1a2a3是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数pn?1，于是可得
pn=3×2n?1?pn?1， ………………（10分） pn?2n=?(pn?1?2n?1)． 于是 pn?2n=(?1)n?3(p3?23)=(?1)n?2?2，
pn=2n+(?1)n?2，n≥3．
综上所述，不同的染色方法数为pn=2n+(?1)n?2． ………………（16分）
12．（本题满分16分） 设a,b∈[0,1]，求
S=
的最大值和最小值．
解 因为
ab++(1?a)(1?b) 1+b1+a
S=
ab++(1?a)(1?b) 1+b1+a
1+a+b+a2b2ab(1?ab)
=1? =
(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)
≤1 ，
当ab=0或ab=1时等号成立，所以S的最大值为1． ………………（6分）
令T=
ab(1?ab)
，x=ab，则
(1+a)(1+b)
T=
ab(1?ab)ab(1?ab)
≤
1+a+b+ab1+2ab+ab
x2(1?x2)x2(1?x) ==． ………………（10分）
1+x(1+x)2
x2(1?x)55?11
下证 ． ① ≤
1+x2
① ?(x?
5?12
)(x+5?2)≥0， 2
55?11
， 213?55
， 2
所以 T≤
从而 S≥
当a=b=
5?113?55
时等号成立，所以S的最小值为．……………（16分） 22
2005年上海市高中数学竞赛（CASIO杯）试题
（3月27日上午8：30到10：30）
一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，共60分）（i表示虚数单位）1．计算：i0!+i1!+i2!+??+i100!=_____．
xi12．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin8θ=sin2θ，则θ可能值构
成的集合是_______________．（用列举法表示）3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及
对角线上三个格内的复数和都相等，则x表示的复数是_____．4．如图，正四面体ABCD的棱长为6cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若AE = 1cm，CF = 2 cm，则线段EF的长为_____cm．
AE
BCF第 4 题图D
5．若关于x的方程4x + (a+3)2 x + 5 = 0至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a的取值范围为_____．，则abcd + e为奇数的概率为_____．6．a、b、c、d、e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素（允许重复）
7．对任意实数x、y，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)?xy?1，若f(1)=1，则对负整数n，f(n)的表达式_____．
8．实数x、y、z满足x + y + z = 0且x2 + y2 + z2 =1，记m为x2、y2、z2中最大者，则m的最小值为_____． 二、（14分）（9、10题各14分，11，12题16分）
9．设f(x)=ax2+bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b使f(x)的定义域和值域相同．
22xy?=1（a、b∈R+）的半焦距为c，且b2=ac．P、Q是双曲线上任意两点，M10．已知双曲线 22ab
为PQ的中点，橙子奥数工作室录入暗记，当PQ与OM的斜率kPQ、kOM都存在时，求kPQ?kOM的值．k2
11．设[x]表示不超过实数x的最大整数．求集合{n|n=[],1≤k≤2004,k∈N}的元素个数．
2005
12．数列{fn}的通项公式为fn=
1+5n1?5nn12+[()?()]， n∈Z．记Sn=Cnf1+Cnf2+??+Cnfn，求所
225
有的正整数n，使得Sn能被8整除．
111π2ππ7π9π+ 2i 2．{,,,,} 3．+i 4．23 5．[?8.25,?3?25] 简略答案：1．95
332101022
17491n2+3n?21+5 8． 9．0或?4 10．6． 7． 11．1503 12．当且
3125222仅当n | 3
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
