2008年第6期39
=f(4k+1)f(4k+3)=-
1.21-2
2n=PB?PA.故PB=BA
故当n为偶数时,
f(1)f(3)…f(2n-1)=
ΖPM-2
d2
;
4
22
=2AB≤2d
当n为奇数时,1f(1)f(3)…f(2n-1)=-2==
--12
n-1n-12
cos
(2n-1)π4
2
Ζ|PM|≤3dΖ(a-1)2+32≤6
2
Ζ1-33≤a≤1+33.111二、9.由+=(x、y、n∈Z+)知
2
cos
n-12
n-1π+×π
4
12
2nxyn
x>n,y>n.
1-.2xn-1+xn-2
由xn=得
2
11xn+xn-1=xn-1+x.22n-2
1又x2+x=1,故数列xn
21
为常数列,每项均为1,即
1xn+x=1,
2n-1212xn-=-xn-1-.
323
22因为x1-=-,所
33
22xn-是首项为-、公比为-33
数列.
n-1
221故xn-=--.
332
n-1
221因此,xn=--.
3328.1-33≤a≤1+33.圆心M(1,3),直径d=4.如图5,过点P、M作割线.由割线定
12227.-33
n-12
(-1)
2
2=2
.
n-1
令x=n+a,y=n+b(a、b∈Z+).则111Ζ2+=n=ab.n+an+bn因此,S(n)等于正整数对(a,b)的个
2
数.从而,S(n)等于n的正约数的个数.
ααα
设n=p11p22…pkk,其中,p1,p2,…,pk
为不同的质数,且αZ+(1≤i≤k).则i∈
…pkk.
2
(2αn的正约数个数为(2α1+1)…k+1).2
(2α令(2α223.1+1)…k+1)=2007=3×
k=2,
k=1,
1=1,则 或α
α1=1003
α2=334
n=p1
1
22α
p2
2α
2
2α
+
1x2n-1
k=2,k=3,
以,数列1的等比2
理得
PM+
d2
?
d PM-
2图5
1=4, 1=α2=1,或α或ααα2=1113=111.
1003334
故满足条件的n=p1或n=p1p2或4111111
n=p1p2或n=p1p2p3.
2
10.原方程为(x-1)(xsinθ-2x+4)=0.因为原方程有3个正实根,所以,关于x
2
的二次方程xsinθ-2x+4=0有2个正实根,即
Δ=4-16sinθ≥0,Ζ10 4sinθ>0 2 又9sinθ-4sinθ+3 2223≥23=9sinθ-+,999 )(2cosθ-6sinθ-3sin2θ+2)0<(1-cosθ )(1+cosθ)(1-3sinθ)=2(1-cosθ2 )=2sinθ(1-3sinθ 833)=×sinθ×sinθ(1-3sinθ 922 ? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 40中等数学 ≤8913 3 = 89×27 . 239621则u≥=. 889×27 2当sinθ=时,上式等号成立. 9621故umin=. 8 不超过120°.所以,n=90不满足题意. 其次,当n=91时,接下来证明:至少有2007个角不超过120°. 图7 对圆周上的91个点 A1,A2,…,A91,若∠AiOAj>120°,则联结 AiAj,这样就得到一个图G.设图G中有e条 π 11.当0<θ<时,AB的方程可写成 2 y=tanθx-p边. 当∠AiOAj>120°,∠AjOAk>120°时,∠AiOAk<120°,故图G中没有三角形. 若e=0,则有C91=4095>2007个角不 2 2 ,即 px=cotθ?y+ 2 .① π 也成立.2将式①代入抛物线方程得22y-2pcotθ?y-p=0. p(cosθ+1)p(cosθ-1)则yA=,yB=. sinθsinθ )2p(cosθ+1)pp(1+cosθ故xA=cotθ?+=,2 sinθ22sinθ2 p(cosθ-1)xB=.2 2sinθ 如图6,过点A、B分别作y轴的垂线AP、BQ.则 |AP|tan∠AOP= |OP| xA1+cosθ==,yA2sinθ 这个结果对θ=tan∠BOQ=1-cosθ=.2sinθ 4.3sinθ 故∠AOB=π-(∠AOP+∠BOQ) 4=π-arctan. 3sinθ 12.首先,当n=90时,如图7,设AB是⊙O的直径,在点A和B的附近分别取45 2 个点,此时,只有2C45=45×44=1980个角 xB -yB 图6 超过120°,命题得证. 若e≥1,不妨设A1、A2之间有边相连,因为图中没有三角形,所以,对于点Ai(3≤i≤91),它至多与A1、A2中的一个有边相连.从而, d(A1)+d(A2)≤89+2=91, 其中,d(A)表示从A处引出的边数. 又d(A1)+d(A2)+…+d(A91)=2e,而对图G中每一条边的两个顶点Ai、Aj,都有d(Ai)+d(Aj)≤91. 于是,上式对每一条边求和可得 (d(A1))2+(d(A2))2+…+(d(A91))2≤91e. 由柯西不等式得 222 91[(d(A1))+(d(A2))+…+(d(A91))] 22 ≥[d(A1)+d(A2)…+d(A91)]=4e. 4e222故≤(d(A1))+(d(A2))+…+(d(A91))91 2 所以,tan(∠AOP+∠BOQ)= ≤91e, 291e≤<2071. 4 因此,91个顶点中,至少有2 C91-2071=2024>2007 个点对,它们之间没有边相连.从而,对应的顶点所对应的角不超过120°. 综上所述,n的最小值为91.(熊 斌、顾鸿达、李大元、刘鸿坤、叶声扬 命题) ? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 2006年上海市高中数学竞赛试卷 题 号 （2006年3月26日 星期日 上午8：30～10：30） 一 二 1～8 得 分 评 卷 复 核 9 10 11 12 总分 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x，y，z是正实数，满足xy+z=(x+z)(y+z)，则xyz的最大值是 ． 2．设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k的值为 ． 3．设n(n≥2)是给定的整数，x1,x2,L,xn是实数，则sinx1cosx2+sinx2cosx3+ L+sinxncosx1的最大值是 ． 4．在△ABC中，已知∠A=30°,∠B=105°，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得∠CDE=60°，且DE将△ABC的面积两等分， ?CD? 则??= ． ?AC? 5．对于任意实数a，b，不等式max{a+b,a?b,2006?b}≥C恒成立，则 常数C的最大值是 ．（注：max{x,y,z}表示x，y，z中的最大者．） 设f(x)=x2+ax+bcosx， 6．{xf(x)=0,x∈R}={xf(f(x))=0,x∈R}≠?，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ． 2 7．在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米， n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米． 8．已知函数f:R+→R满足：对任意x,y∈R+，都有 ?11? f(x)f(y)=f(xy)+2006?++2005?， ?xy? 则所有满足条件的函数f为 ． 二、解答题 y9．（本题满分14分） 已知抛物线y2=2px(p>0)，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为θ(0<θ<π)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B′，连接BO，交准线于点A′，求四边形ABB′A′的面积． OFx 10．（本题满分14分） 数列{an}定义如下：a1=1，且当n≥2时， ?an+1,当n为偶数时，??2 an=?1 ,当n为奇数时．???an?1 已知an= 30 ，求正整数n． 19 …………… 密 封 线 ……………11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？ 12．（本题满分16分） 设a,b∈[0,1]，求 S= 的最大值和最小值． ab++(1?a)(1?b) 1+b1+a
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
