2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．
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>,1≤i 3．若tanα+tanβ+tanγ=，cotα+cotβ+cotγ=?，cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcotα 65 17 =?，则tan(α+β+γ)= ． 5 4．已知关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实数解，则实数k的取值 2．已知正整数a1,a2,L,a10满足： 范围是 ． 5．如图，ΔAEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形，已知∠AEF=90°， AE=a,EF=b,a>b，则x= ． 6．方程2?3?3 m n n+1 aj +2m=13的非负整数解(m,n)= ． 2(n+1)2011n=an+1?an,n=1,2,L.若am>2+，则正 2012n+2n+2 DC7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸 出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{an}定义如下：a1=1,a2=2,an+2 整数m的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=x，BC=1， 对角线AC与BD的夹角∠BOC=45°，记直线AB与CD的距离为h(x)． 求h(x)的表达式，并写出x的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数a>1，求函数f(x)= AOB(a+sinx)(4+sinx) 的最小值． 1+sinx 11．（本题满分16分）正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4； 求证：（1）xy+yz+zx≥ n 4；（2）x+y+z≥2． 3 12．（本题满分16分）给定整数n(≥3)，记f(n)为集合1,2,L,2?1的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：①1∈A,2?1∈A；②A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求f(3)的值； （2）求证：f(100)≤108． 1 {n }2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案 1、 93 2、92 3、11 4、(?∞,0)U{4} 4 a22 6、(3,0),(2,2) 7、 8、4025 5、5a2+(a?b)29．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 11 OB2+OC2=(AB2+BC2)=(x2+1)． ① …………………（2分） 22 222 在△OBC中，由余弦定理BC=OB+OC?2OB?OCcos∠BOC， 22 所以 OB+OC?2OB?OC=1， ② x2?1由①，②得 OB?OC=． ③ …………………（5分） 221x2?1 所以：SABCD=4SΔOBC=4?OB?OCsin∠BOC=2OB?OC=， 22 x2?1x2?1 ， 所以 ：h(x)=． …………………（10分） 故：AB?h(x)= 2x2 2 由③可得，x?1>0，故x>1． x2?11222 因为OB+OC≥2OB?OC，结合②，③可得：(x+1)≥2?， 222解得（结合x>1） 1 x2?1 综上所述，h(x)=，1 2x (a+sinx)(4+sinx)3(a?1) =1+sinx++a+2． 10．解 f(x)= ++1sinx1sinx 73(a?1) 当1 31+sinx 且当sinx=3(a?1)?1(∈(?1,1])时不等式等号成立，故fmin(x)=23(a?1)+a+2． ………（6分） 当a> 73(a?1) 时，3(a?1)>2，此时“耐克”函数y=t+在0,3(a?1)?内是递减， ?3t 3(a?1)5(a+1) 故此时fmin(x)=f(1)=2+． +a+2= 22 (7? 23(a1)a2,1a;?++<≤??3 …………………（14分） 综上所述，fmin(x)=? 7?5(a+1),a>. ?3?2 11．证 （1）记t= xy+yz+zx，由平均不等式：xyz=33 2 (3(xy)(yz)(zx))32 ?xy+yz+zx?≤??． 3?? 3 2 …………………（4分） 于是 4=9xyz+xy+yz+zx≤9t+3t， 所以 (3t?2)3t+3t+2≥0， 2 ()而3t+3t+2>0，所以3t?2≥0，即t≥ 2 24 ，从而xy+yz+zx≥． …………………（10分） 33 2 （2）又因为：(x+y+z)≥3(xy+yz+zx)， 所以 (x+y+z)≥4， 故 x+y+z≥2． …………………（16分） 12．解 （1）设集合A?1,2,L,2?1，且A满足（a），（b）．则1∈A,7∈A．由于{1,m,7}(m=2,3,L,6)3 2 2 {}不满足（b），故A>3． 又 {1,2,3,7},{1,2,4,7},{1,2,5,7},{1,2,6,7},{1,3,4,7},{1,3,5,7},{1,3,6,7}, ，故A>4． {1,4,5,7},{1,4,6,7},{1,5,6,7}都不满足 （b） ，（b），所以f(3)=5． …………………（6分） 而集合{1,2,4,6,7}满足（a） （2）首先证明：f(n+1)≤f(n)+2,n=3,4,L． ① 事实上，若A?1,2,L,2?1，满足（a），（b），且A的元素个数为f(n)． 令B=AU2又2 n+1 {n }{n+1 ?2,2n+1?1}，由于2n+1?2>2n?1，故B=f(n)+2． ?2=2(2n?1),2n+1?1=1+(2n+1?2)，所以，集合B?{1,2,L,2n+1?1}，且B满足（a）， （b）．从而：f(n+1)≤B=f(n)+2． …………………（10分） 其次证明： f(2n)≤f(n)+n+1,n=3,4,L． ② 事实上，设A?1,2,L,2?1满足（a），（b），且A的元素个数为f(n)． 令B=AU2(2?1),2(2?1),L,2(2?1),2 n 2 {n }{n2nnn2n ?1}， 2n 由于 2(2?1)<2(2?1) k+1 nnn ?1， {2n ?1}，且B=f(n)+n+1． (2n?1)=2k(2n?1)+2k(2n?1),k=0,1,L,n?1， 22n?1=2n(2n?1)+(2n?1)， 从而B满足（a），（b），于是：f(2n)≤B=f(n)+n+1． …………………（14分） 由①，②得 f(2n+1)≤f(n)+n+3． ③ 反复利用②，③可得f(100)≤f(50)+50+1≤f(25)+25+1+51 ≤f(12)+12+3+77≤f(6)+6+1+92 ≤f(3)+3+1+99=108． …………………（16分） 3 2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题 2011年3月27日 上午8：30——10：30 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分） ??yx+7x+12=1 1.方程组?的解集为 . ??x+y=1 2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边），点P、Q的坐标分别为(0,1)、(1,2)，则直线AP与直线BQ交点R轨迹的普通方程为 . 2 x2y2 +=1在第一象限弧上的一点，MN⊥y轴，垂足为N，当ΔOMN的面积最大时，3.已知M是椭圆 169 它的内切圆的半径r= 4.已知ΔABC外接圆半径为1，角A、B、C的平分线分别交ΔABC外接圆于A1、B1、C1，则 AA1cos ABC+BB1cos+CC1cos222的值为 . sinA+sinB+sinC 35.设f(x)=asin??(x+1)π??+bx?1+2，其中a、b为实常数，若f(lg5)=5，则f(lg20)的值 为 . 6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(3,a)，B(3,b)使∠AOB=45，其中a、b均为整数，且 0 a>b，则满足条件的数对(a,b)共有 组. 7.已知圆C的方程为x+y?4x?2y+1=0（圆心为C），直线y=tan10 2 2 (0 )x+ 2与圆C交于A、B 两点，则直线AC，BC倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a、b，min{a,b}表示a、b中较小的数，求所有非零实数x，使 1 ，则甲最后获胜的概率是 . 2 4???1? min?x+,4?≥8?min?x,?. x???x? 1 10. （本题满分为14分）如图，在ΔABC中，O为BC中点，点M，N分别在边AB，AC上，且AM=6， MB=4，AN=4，NC=3，∠MON=900.求∠A的大小. 11. （本题满分为16分）对整数k，定义集合Sk=n50k≤n≤50(k+1),n∈Z，问S0，S1，S2，…， {}S599这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？ 12. （本题满分为16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数x1，x2，…，xn，都有不等式 (x1+x2+???+xn) 2 ≥n(x1x2+x2x3+???+xnx1). 2
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
