? ? 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型——统计回归模型。 ? ? 关键点有：
1. 做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线性增长），确定方程形式，待定系数。
2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合，得出结果；重点：如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点，R^2、F）。
3. （考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如10.1中引入价格差（p297最后一段说明）。
4. 利用好回归变量的预测（置信）区间。
5. 改进回归模型：逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进，则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。
6. 残差分析（p305，但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应该怎样改进模型。
7. p307评注内容：0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。 8. 线性化（p309），及非线性MATLAB求解（p310）；p315最后两段。 9. 自相关的考虑（10.4节）：若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关（D-W检验、广义差分法），同时注意若高阶自相关，则必须改进直至不存在自相关为止。
10. 逐步回归：因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显着的变量。
第11章 马氏链模型
关键词：离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
基本概念
? ? 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏链的主要思想。
1. 无后效性/Markov性： 系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于 1）这个时期状态 2）转移概率，与以前各时期状态无关。
2. 马氏链（Markov Chain）模型通常描述： 已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。
3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
一、健康与疾病
? ? 主要介绍马氏链基本概念、要素： 系统的状态，状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的（转移概率与时段n无关）马氏链。
? ? 同时介绍2种主要类型——
? ? 1）正则链：从任意状态出发，经过有限次转移都能达到另外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；
? ? 2）吸收链：首先引入吸收状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1，即进了这个状态就出不来了，被“吸收”掉。??吸收链是（至少）存在一个吸收状态，使马氏链从每个费吸收状态出发，能有限次到某个吸收状态。 二、钢琴销售的存贮策略
? ? 动态随机存贮。一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后，用公式求出稳态概率分布w，就是达到稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子，其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。 三、基因遗传
? ? 用马氏链模型研究遗传过程，关键是建模的过程——即选取系统的状态，这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。??随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去，即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律；然而，近亲繁殖中，得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话，若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种，并保持下去。这两个结论（虽然在理想化假设下）与我们之前的认识是很一致的，从中加深了马氏链的理解。 四、等级结构
? ? 这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况，目标是研究等级分布变化规律，假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
? ? 重点在于变量的设置，以及还是状态设置、模型建立过程。??建模过后，先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制，其中有“稳定域”的构造、分析。
然后是具体如何用调入比例，进行动态调节，实则转化为了一步步优化问题，动态调节的过程是一步接一步的，有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性，以及给编程创造了机会。 五、资金流通
? ? 基本与等级结构一样，一系列推导最后总结出步骤，先判断稳定能否达到，若能达到，则由公式算出每年应如何投放资金。??与等级模型不同在于：各地区资金进出可正可负；所有地区资金总和可以变化。
第11章小结：
? ? 虽然只有短短5节，但是几个模型由浅入深，循序渐进，学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中，具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础，虽是基础但案例、思想也足够典型，是今后解决离散随机过程很有力的工具。
第12章 动态优化模型
关键词：泛函极值 变分法 动态规划 最短路
基本概念
? ? 本章介绍动态优化，优化目标，虽然优化目标仍然是数值，但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题（几个模型中一直体现），方法有古典变
分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的，而离散过程则用动态规划求解。
? ? 第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念，和后面要用的结果；同时介绍泛函、泛函极值概念。
? ? 这一章的数学知识、推导比较繁杂（尤其是对于没接触过泛函等概念的学生），2、3、4、5节（生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度）均是连续动态优化的典型问题，许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”，实属一个经济学的典例，这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
? ? 第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化，用动态规划求解，转化为最短路问题，当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。
《数学模型第三版》学习笔记
