数学分析专题研究模拟试题及参考答案
一、单项选择题
1.A，B,C是三个集合,A?B?C，则有( )成立。 A。 若x?A,则x?B B。 若x?A，则x?C C。 若x?A，则x?B?C Ｄ． 若x?B?C，则x?A 答案：Ｄ
2． 设f(x)??x?2x?1则f:R?R是（ ）
A. 双射 B. 既非单射也非满射 Ｃ。单射而非满射 D． 满射而非单射 答案:B
3。下列数集（ ）不是可列集。
Ａ．自然数集 B。整数集 Ｃ．有理数集 Ｄ．实数集 答案：D
4。已知函数y?f(x)在(0,1)内可导，且f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内（ ）． A．连续 B．间断 C。有界 D。无界 答案：Ａ
5。有界闭凸集S上的下凸函数f(x)的最大值必在S的（ ）达到. A．内部 B。外部 C．边界?S D.可能是内部也可能在边界?S 答案：C
二、填空题
1．已知A?{a,b},B?{c,d},则B?A?________________. 答案：{(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)}
2.设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 ． 答案：等价关系
３。若集合A能与其任意真子集A1之间建立一个双射,则集合A是 . 答案:无限集
4．e? . 答案：cosx?isinx
ix2(?1)n?1nx,则f(x)?ln(_____)。 5．设f(x)??nn?1?答案：1?x
三、计算题
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１．已知函数f(x)满足f(x?1)?x?4x?3,求f(x).
解:f(x?1)?x?4x?3 ?(x?1)2222?6(x?1)?8
故f(x)?x?6x?8 2．求函数f(x)?x?解 令 f?(x)?1? f??(x)?2?1的极值． x1?0 解得 x??1 2x1,f??(1)?2?0,故x?1是极小值点，f(1)?2是极小值 ; x3f??(?1)??2?0,故x??1是极大值点，f(?1)??2是极大值。
四、证明题
n1.设y?f(x)是从[0,1]到[0,1]的连续函数，则存在点x0?[0,1]，使f(x0)?x0，其中n是
一个非零自然数．
证明：若f(0)?0或f(1)?1，则x0可取为0或１. 否则有f(0)?0且f(1)?1,设?(x)?f(x)?x，?(x)是[0,1]上的连续函数,且
n?(0)?f(0)?0,?(1)?f(1)?1?0
n由连续函数的介值定理知，至少有一点x0?(0,1)，使?(x0)?0，即f（x0)?x0
２.设A,B,C为三角形的三个内角，求证
sinABC1?sin?sin?． 2228证明 已知sinx在(0,?2)内是上凸函数,故有
1ABC1A1B1C[sin?sin?sin]?sin[??] 322232323211 ?sin(A?B?C)?
62ABC1ABC3131因此sin?sin?sin?{(sin?sin?sin)}?()?
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