大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
授课章节 第3章 刚体力学基础 1. 掌握刚体平动和转动的特点及刚体作定轴转动的描述； 2. 理解力矩、转动惯量的概念，掌握刚体定轴转动的转动定律； 3. 理解刚体定轴转动的转动动能，掌握定轴转动的动能定理； 4. 理解角动量的概念，掌握质点和刚体的角动量、角动量定理及角动量守恒定律。 教学目的 1. 理解定轴转动中，若力的作用线与轴平行，或力的作用线（或延长线）与轴相交，则这个力对该轴无力矩，从而角动量守恒； 教学重点、难点 2. 掌握对于变力矩的计算是如何正确写出作用在刚体上各部分的力对轴的力矩； 3. 熟悉运用如果考虑滑轮的质量及半径，则需要利用转动定律； 教学内容 备注 §3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 一、 刚体定轴转动的描述 刚体的基本运动形式有两种：平动和转动，其他的复杂运动都可看成这两种运动的复合运动。 1、定轴转动 如果在运动中，刚体上所有质点都绕某一固定直线作圆周运动，那么这种运动叫做定轴转动；所绕的直线称为转动轴。垂直于转动轴的平面为转动平面，它有无限多个。 2、定轴转动的角量描述 角位置θ、角位移d?，角速度 ??d? ，角加速度??d??d?。 2dtdtdt23、刚体定轴转动的特点：由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，所以具有下列性质： ①所有质点的角量(??,?,?)都相同； ② 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比； 即 vi?ri?， a?i?ri? ， ani?ri??2 4、刚体的匀角加速转动： 可以与质点的匀加速直线运动相类比： 质点（a =常数） 刚体（?＝常数） v?v0?at ???0??t x?x?vt?1at2 ???0??0t?1?t2 0022222 v2?v0?2a?x?x0? ???0?2?????0? 1
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§3.2 力矩 刚体定轴转动的转动定律 一、力矩 （课本P41 §2.4） 力矩的定义：作用于质点的力F对某参考点的的力矩，等于力的作用点对该点的位矢r与力F的积，即 M?r?F。 力矩的单位、牛顿.米（N?m）。 ?方向:M?r与F组成的平面,右螺旋关系 力矩的? 大小:M?r?Fsin??r?F?r?F??? M的大小、方向均与参考点的选择有关。 二、刚体定轴转动的转动定律 M=r?F?r?ma； 式中r是质点对参考点O的位矢。 对于质点系而且定轴转动时，采用自然坐标，上式可写成 切向： 法向：令 J??Mi切=?rmaiii切2??rmii(ri?)?(?miri)?， ?M2i法?0 ?mrii ，称为转动惯量。则有 ?Miz??Mi切??Mi法?J? 这就是刚体定轴转动的转动定律；具体内容是绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 对于单个质点 转动惯量 J?mr2， 质点系 转动惯量 J??mri?1n2ii，式中ri为i质点到轴的矩离。 质量连续分布的刚体 转动惯量 I??r2dm。 m2
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?刚体的质量的有关,?刚体的转动惯量与 ?刚体的质量分布有关,。 ?轴的位置有关。?三、转动定律的应用 例1：一细绳跨过质量为Ｍ，半径为Ｒ,轴承光滑的滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1,m2的物体，绳与滑轮间无相对动滑动，绳轻且不可伸长，试求物体的加速度。 RT2 T1 T1T2 m2gm1gMgm 1m2 例3.1 图 解：现分 由于该题已经考虑滑轮的质量和大少，则必须应用转动定律解题。 别以m1,m2及滑轮为研究对象，得： m2g?T2?m2a??T1?m1g?m1a?? ?12?T2R?T1R?J??2MR??a?R???由上述几式可以解出加速度是 a??m2?m1?m1?m2?M/2g 注意：与教材P23之例题2－1比较. 此处滑轮质量不可忽略，所以，滑轮两边绳之张力不相等。 §3.3 刚体定轴转动的动能定律 一、 转动动能 质点i的动能 Eki?vi rimi 11mivi2?miri2?2 22质点的转动动能 11对i求和 Ek??miri2?2?(?miri2)?2 223
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因为 J??miri2 ， 所以EK?1J ω2 。 2与 Ek?1mv2 相比， 2可知：m — 描述质点的平动惯性，称之为惯性质量； J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。 二、力矩的功 对于i质点，其受外力为Fi ，则 Wi?Fi?dsi?Ficosαi?rdiθ?Fiτ?rdiθ ?Mid? 对i求和，当整个刚体转动d?，则力矩的元功 dW?(?Mi)d??Md? ?2∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为 W???1Md? 三、刚体定轴转动的动能定理 Md??Jd?d??1?d??J?dt?J?d??d?J?2? dtdt?2??21 ??M?d??1122 J?2?J?122力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材P40 §2.4） 1、质点对固定点的角动量 （1）定义：动量为mv的质点，对某参考点的角动量L，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv的矢积，即 L?r?mv。 L o r mv L的单位：千克?米2/秒 4
角动量的定义 大学物理学
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角动量的? （2）L是相对量：mv与参照系的选择有关，r与参考点的选择有关. 3. 质点对点的角动量定理 由于 ?方向:L?r与mv组成的平面,右螺旋关系?大小:L?r?mvsin??r?mv??rsin?mv?r??mv dLddrd(mv) ?(r?mv)??mv?r?dtdtdtdtdrdr?v， 故?mv?0，又 M?r?F 又 ∵ dtdt∴ 有 M?ddL(r?mv) 或 r?F?dtdt即质点对某参考点的角动量对时间的变化率，等于作用于质点的力F对该参考点的力矩—质点对固定点的角动量定理。 注意：M和L必须是对同一点而言。 4.质点的角动量守恒定律 若M= 0，则L?r?mv= 常矢量，即作用于质点上的力F对某参考点的力矩为零，则质点对同一点的角动量守恒。 若质点只受到有心力的作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。 二、刚体对轴的角动量定理以及守恒定律 1、刚体对轴的角动量定理 刚体对定轴的角动量L等于刚体上所有质点对定轴的角动量dL之和。 L?dL?(dm)?r?(rdm)???J? 因为 J?rdm，刚体对定轴的转动惯量。 2、刚体对轴的角动量定理 ??2?2?2d?d(J?)，有 ?dtdtdL微分形式：M? dt由M?J??J 积分形式：?t2t1Mdt??d(J?)?J?2?J?1 t1t25
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大学物理教案-第3章 刚体力学基础
