【方法综述】
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等. 【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝{C?A??C?B?,C?A??C?B?C?B??C?A?,C?A??C?B? 若A＝{1,2}，
B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7 【答案】B
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】
1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合
，使得
；
，若对于
，
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
；
；
．其中是“互垂点集”集合的为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 设点对于集合所以集合对于集合所以集合对于集合所以集合
，当
是曲线上的两点， 时，
，
不成立
不是“互垂点集”. ，
，当
时，
，
不成立
不是“互垂点集”. ，当
时，
，
不成立，
不是“互垂点集”.
排除A,B,C. 故选：D
2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合
，使得
①③
② ④
，若对于任意
，存在
成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
其中是“垂直对点集”的序号是________. 【答案】①③ 【解析】 对于①，
，即
，
与
的值
域均为对于②,若满足对于③
，故①正确；
，则
，在实数范围内无解，故②不正确；
，画出
在对于④，
，使得
的图象，如图，直角成立，故 ③正确； ，取点
始终存在，即对于任意，存
，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，
所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③. 类型二 高等数学背景型临界问题
【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①②
【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数是亲密函数的个数为（ ） ．A．0 【答案】B 【解析】
B．1
C．2
D．3
，
，
中，与函数
不．
专题7.3 临界知识问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(解析版)
