2019年
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推
理与证明高考AB卷理
合情推理与演绎推理
(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和3
合情推理与演绎推理
1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A.2人 C.4人
B.3人 D.5人
解析 学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B. 答案 B
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2.(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A.28 C.123
B.76 D.199
解析 利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123. 答案 C
3.(2015·山东，11)观察下列各式： C＝40； C＋C＝41; C＋C＋C＝42； C＋C＋C＋C＝43； ……
照此规律，当n∈N*时，C ＋C＋ C＋…＋ C＝________. 解析 观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，
第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1. 答案 4n－1
4.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0). 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组： 其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
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解析 (ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5. 答案 5
5.(2013·陕西，14)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10 ……
照此规律，第n个等式可为________.
解析 左边共n项，每项的符号为(－1)n＋1， 通项为(－1)n＋1·n2.
等式右边的值符号为(－1)n＋1，各式为(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)＝(－1)n＋1， ∴第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·. 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
n（n＋1） 26.(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n，3)＝n2＋n， 正方形数 N(n，4)＝n2， 五边形数 N(n，5)＝n2－n， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n， …… ……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.
解析 由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项
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的系数为首项是，公差是－的等差数列，因此N(n，k)＝n2＋n＝n2＋n.故N(10，24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1 000. 答案 1 000
7.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________.
解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2. 答案 F＋V－E＝2
8.(2012·陕西，11)观察下列不等式 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， ……
照此规律，第五个不等式为________________________________________. 解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋<. 答案 1＋＋＋＋＋<6 9.(2012·湖北，13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则 (1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
112019年
解析 (1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种； (2)经归纳可得2n＋1位回文数有9×10n个. 答案 (1)90 (2)9×10n
10.(2013·重庆，22)对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝. (1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.
解 (1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn?In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3?A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾.
再证P14符合要求，当k＝1时，＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：
A2＝，B2＝.
当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：
A3＝，B3＝.
最后，集C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理
