b?a2a(b?a)(b?a)(a?b)?2ab(b?a)(b?a)(a?b)?2???0 ba?b2b(a2?b2)b(a2?b2)222所以b?a2a(b?a)2a(b?a) ?2.故f(b)?f(a)?222ba?ba?bx?ln(x?1)(x??1) x?1评注：本题得到不等式ln(1?x)?x(x??1)与不等式
构成经典不等式，即7
x?ln(x?1)?x(x??1). x?1、
已
知
g(x)?xlnx,设0?a?b,求证：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2解析：g(a)?g(b)?2g(a?ba?ba?b)?alna?blnb?2?ln() 222?aln2a2b 由经典不等式ln(1?x)?x(x??1且x?0), ?blna?ba?b及0?a?b,得b?aa?b?0,?1??0 2a2b因此ln2aa?bb?ab?a??ln??ln(1?)??, a?b2a2a2aln2ba?ba?bb?a??ln??ln(1?)??, a?b2b2b2a故aln又
2a2bb?aa?ba?bb?a?bln?a?(?)?b?(?)???0 a?ba?b2a2b222aa?b2a2ba?b2b2b?,aln?bln?aln?bln?(b?a)ln?b?aln2a?b2ba?ba?b2ba?ba?b
综上所述，得0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2
8、已知f(x)?lnx?x?1.(1)求f(x)的最大值.
ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)?2?求证：2?2???2?(n?2,n?N*)
23n2(n?1)(1)略（2）由（1）知lnx?x?1?0(x?0)，lnx1?1?(x?0) xxln22ln32lnn2111所以2?3???2?1?2?1?2???1?2
23n23n?(n?1)?(111111????)?(n?1)?(????) 22223n2?33?4n(n?1)11(n?1)(2n?1)(n?2,n?N*)
(n?1)?(?)?2n?12(n?1)9、求证：(1?1111*)(1?)(1?)?(1?)?e(n?N)要证明原不等式，2222n2482明
ln[(1?111)(1?)?(1?)]?1224222n就要证 即
ln(1?111)?ln(1?)??ln(1?)?1 222n2422构造函数f(x)?ln(1?x)?x,x??0,1?,易得f(x)递减，故f(x)?f(0) 则l1?有
l1?x2)?nx(。
故有
1111111 )?nl1?)(?n??l1?()n???(???224222n2482n11(1?n)2?1,得证。 ?211?2
10、f(x)?x?ln(x?1). (1)当x?0时，求证：f(x)?x;
23111151 (2)当n?N时，求证：f()?1????????333k23n42n(n?1)k?1*n3x3?(x?1)2解：(1)令h(x)?f(x)?x?x?ln(x?1)?x,则h?(x)??
(x?1)323易得h(x)在(0,??)上单调递减，h(x)?h(0)?0,所以f(x)?x （2）设k?N*,所以?(0,1],取x?故
31k111,由（1）得f()?3 kkk?f(k)?1?2k?1n113?11当n?1时，左?右?1，不等式成立 ???3对于右半边证明如下：33n当n?2时，因为111111???[?] 322nn?nn(n?1)2(n?1)nn(n?1)11?] (n?1)nn(n?1)所以1?1?1???1?1?1[1?1?1?1???33323n21?22?32?33?451 ?42n(n?1)?
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度
用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题
