可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程可分离变量方程标准形式

第六章g(y)dy=f(x)dx

鉴别形式

dy

=f1(x)f2(y)dx

分离变量方程的解法:

g(y)dy=f(x)dx

①

设y＝?(x)是方程①的解, 则有恒等式

g(?(x))?′(x)dx≡f(x)dx

两边积分, 得

g(y)dy=∫f(x)dx∫

G(y)

F(x)

则有

G(y)=F(x)+C

②

称②为方程①的隐式通解,或通积分.

例1. 解方程xyy'+1=y.

2

2

解：

y1

分离变量dy=2dx.

y?1x两端积分

2

∫

2

dxy

dy=∫2.

xy?1

2

y1

通解为+y+ln|y?1|=?+C.

2x

例2. 解方程(1+e)yy'=e,满足条件y(0)=1.

x

x

e解：分离变量ydy=dx.x1+e

两端积分

x

∫

2

ydy=∫

e

.dxx

1+e

x

yx

通解为=ln(1+e)+C.

2

e

由初始条件y(0)=1,可得C=ln

22

yex

所求特解为=ln(1+e)+ln.

22

dy2的通解.=3xy例.求微分方程

dxdy2解:分离变量得=3xdx说明:在求解过程中y每一步不一定是同解dy2变形,因此可能增、3d=xx两边积分∫∫y减解.或3

lny=x+C1得

即

y=±e

x3+C1=±eeC1C1x3令C=±ey=Ce

x3

lny=x+lnC3( C为任意常数)( 此式含分离变量时丢失的解y= 0 )