专题24 解三角形中的最值、范围问题
解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意a?c,ac,a?c三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理:
22abc???2R,其中R为ABC外接圆的半径 sinAsinBsinC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行 学/科-+网 例如:(1)sinA?sinB?sinAsinB?sinC?a?b?ab?c (2)bcosC?ccosB?a?sinBcosC?sinCcosB?sinA(恒等式) (3)
222222bcsinBsinC ?22asinA2222、余弦定理:a?b?c?2bccosA
变式:a??b?c??2bc?1?cosA? 此公式在已知a,A的情况下,配合均值不等式可得到b?c和bc的
22最值
4、三角形中的不等关系
(1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少
(2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
a?b?A?B?sinA?sinB?cosA?cosB
其中由A?B?cosA?cosB利用的是余弦函数单调性,而A?B?sinA?sinB仅在一个三角形内有效.
5、解三角形中处理不等关系的几种方法
(1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域(最值) (2)利用均值不等式求得最值
【经典例题】
例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形
中,
,
设与面积分别为,则的最大值为_____.【答案】
,求出
的表达式,利用二次函数以及余弦函数的值
【解析】分析:利用余弦定理推的范围,求
的最大值即可.
点睛:求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围,由于三角函数的周期性,正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得. 例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在为
【解析】 由 得
,所以
中,角A,B,C所对的边分别
.
,则实数a的取值范围是____________.【答案】
,
,
则由余弦定理,
得,解得,又, 所以的范围是.
例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若对任意λ∈R,不等式
恒成立,则
的最大值为_____.【答案】2
例4.【衡水金卷信息卷三】已知
,且
范围为__________.【答案】【解析】由
的三边分别为,,,所对的角分别为,,,且满足的外接圆的面积为
,则
的最大值的取值
的三边分别为,,可得:
,
可知:,
,,
例5.【2018届湖南省株洲市高三检测(二)】已知
.
(1)求角的大小; (2)设向量【答案】(1)
(2)
.
,再由余弦定理可得
,
,边长
,当
取最大值时,求边的长. 中,角
所对的边分别是
,且
【解析】分析:(1)由题意,根据正弦定理可得由此可求角的大小; (2)因为
由此可求当取最大值时,求边的长.
(2)因为所以当
时,
取最大值,此时,
由正弦定理得,
的内角
的对边分别为
其
例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次(4月)统考】已知