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北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试
高三年级数学试卷(理工类) 2017.1
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合
题目要求的一项.
1.已知全集U?R,集合A?x2x?1,B?xx?2?0,则(eUA)IB? A. {x|x?2} B.
?????x0?x?2?
C. {x|0?x?2} D. {x|x?2} 2.在复平面内,复数
2对应的点位于 1?iA.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1]上单调递增的是
A.y?cosx B.y??x2 C. y?() D. y?|sinx|
4.若a?0,且a?1,则“函数y?a在R上是减函数”是“函数y?(2?a)x 在R上是增函数 ”的
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是 A.6 B.8 C.10 D.12 6.某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角 三角形,则该四棱锥的体积为
2 x312xA.
224B.
3 3
1 1 正视图
侧视图
uuur7.在Rt?ABC中,?A?90?,点D是边BC上的动点,且AB?3,
俯视图
C.2 D.4
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uuuruuuruuuruuuruuurAC?4,AD??AB??AC(??0,??0),则当??取得最大值时,AD的值为
A.
7 2B.3 C.
5 2D.
12 58.某校高三(1)班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试.跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人,这两项成绩都不合格的有3人,则这两项成绩都合格的人数是
A.23 B. 20 C. 21 D.19
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
x2y2?2?1(b?0)的一条渐近线方程为3x?2y?0,则b等于 . 9.已知双曲线
4b10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1?2,S2?a3, 则a2= ,S10? .
11.执行如图所示的程序框图,则输出S的结果为 . 12.在△ABC中,已知?B?45?,AC?否 是 输出S 开始 2BC,则?C? . ?x?y?0,13.设D为不等式组?y),则?x?y?0,表示的平面区域,对于区域D内除原点外的任一点A(x,结束 ?x+3y?3?2x?y的最大值是_______;x?yx?y22的取值范围是 .
14.若集合M满足:?x,y?M,都有x?y?M,xy?M,则称集合M是封闭的.显然,整数集Z,有理数集Q都是封闭的.对于封闭的集合M(M?R),f:M?M是从集合M到集合M的一个函数,
①如果?x,y?M都有f(x?y)?f(x)?f(y),就称f是保加法的; ②如果?x,y?M都有f(xy)?f(x)?f(y),就称f是保乘法的; ③如果f既是保加法的,又是保乘法的,就称f在M上是保运算的. 在上述定义下,集合
?3m?nm,n?Q 封闭的(填“是”或“否”);若函数f(x) 在
?Q上保运算,并且是不恒为零的函数,请写出满足条件的一个函数f(x)= .
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三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
2已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值. 6416.(本小题满分13分)
甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加正式比赛,从所抽取的两组数据分析,你认为选派哪位同
学参加较为合适?并说明理由;
(Ⅲ)若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数
为?(将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率),求?的分布列及数学期望E?.
17.(本小题满分14分)
在如图所示的几何体中, 四边形ABCD为正方形,四边形ABEF为直角梯形,且
E
AF//BE,AB?BE,平面ABCDI平面ABEF?AB,
AB?BE?2AF?2.
(Ⅰ)求证:AC//平面DEF; (Ⅱ)若二面角D?AB?E为直二面角, (i)求直线AC与平面CDE所成角的大小; (ii)棱DE上是否存在点P,使得BP?平面DEF?
若存在,求出
D
F
A B
C
DP的值;若不存在,请说明理由. DE18. (本小题满分13分)
x2y2??1上的动点P与其顶点A(?3,0),B(3,0)不重合. 已知椭圆C:32(Ⅰ)求证:直线PA与PB的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)设点M,N在椭圆C上,O为坐标原点,当OM//PA,ON//PB时,求?OMN的面积.
19.(本小题满分14分)
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2设函数f(x)?ln(x?1)?ax?x?1,g(x)?(x?1)e?ax,a?R.
x2(Ⅰ)当a?1时,求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若函数g(x)有两个零点,试求a的取值范围; (Ⅲ)证明f(x)?g(x). 20.(本小题满分13分)
设m,n(3?m?n)是正整数,数列Am:a1,a2,L,am,其中ai(1?i?m)是集合{1,2,3,L,n}中互不相同的元素.若数列Am满足:只要存在i,(使ai?aj?n,总存在j1?i?j?m)有ai?aj?ak,则称数列Am是“好数列”. k(1?k?m)(Ⅰ)当m?6,n?100时,
(ⅰ)若数列A6:11,78,x,y,97,90是一个“好数列”,试写出x,y的值,并判断数列:
11,78,90,x,97,y是否是一个“好数列”?
(ⅱ)若数列A6:11,78,a,b,c,d是“好数列”,且a?b?c?d,求a,b,c,d共有多少种不同的取值?
(Ⅱ)若数列Am是“好数列”,且m是偶数,证明:
a1?a2?L?amn?1?.
m2北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试
数学答案(理工类) 2017.1
一、选择题:(满分40分)
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题:(满分30分) 题号 答案 9 10 11 12 13 14 是,f(x)?x,x?Q 9,[?2,0] 4(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分)
2解:(Ⅰ)因为f(x)?23sinxcosx?2cosx?1
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?2sin(2x?).
?6
所以f(x)的最小正周期为?. ………………………………………………………7分
????2??x?,所以-?2x??. 64663??? 当2x??,即x?时,f(x)取得最大值2;
626??? 当2x???,即x??时,f(x)取得最小值?1.…………………………13分
666(Ⅱ)因为?16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)作出茎叶图如下:
…………………………………4分
(Ⅱ)派甲参赛比较合适.理由如下:
x甲?x乙?1?70?2?80?4?90?2?8?9?1?2?4?8?3?5??85, 81?70?1?80?4?90?3?5?0?0?3?5?0?2?5??85, 8?88?85?
222??93?85???95?85???35.5,
? 因为 x甲?x乙,s甲2?s乙2,
所以,甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. …………………………8分
注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分.如 派乙参赛比较合适.理由如下:
3从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的频率为f1?,
8乙获得85分以上(含85分)的频率为f2?因为f2?f1,所以派乙参赛比较合适.
(Ⅲ)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A,
41?. 82P?A??63?. ……………………………………………………… 9分 843随机变量?的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B(3,).
4?3??1?∴P???k??C?????4??4?k3k3?k
,k?0,1,2,3.
所以变量?的分布列为:
北京市朝阳区2017届高三上学期期末统一考试数学理
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