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北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试
高三年级数学试卷（理工类） 2017．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．已知全集U?R，集合A?x2x?1，B?xx?2?0，则(eUA)IB? A． {x|x?2} B．
?????x0?x?2?
C． {x|0?x?2} D． {x|x?2} 2．在复平面内，复数
2对应的点位于 1?iA．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是
A．y?cosx B．y??x2 C． y?() D． y?|sinx|
4．若a?0，且a?1，则“函数y?a在R上是减函数”是“函数y?(2?a)x 在R上是增函数 ”的
A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A．6 B．8 C．10 D．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为
2 x312xA．
224B．
3 3
1 1 正视图
侧视图
uuur7．在Rt?ABC中，?A?90?，点D是边BC上的动点，且AB?3，
俯视图
C．2 D．4
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uuuruuuruuuruuuruuurAC?4,AD??AB??AC(??0,??0)，则当??取得最大值时,AD的值为
A．
7 2B．3 C．
5 2D．
12 58．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是
A．23 B． 20 C． 21 D．19
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
x2y2?2?1(b?0)的一条渐近线方程为3x?2y?0，则b等于 ． 9．已知双曲线
4b10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?2，S2?a3， 则a2= ，S10? ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为 ． 12．在△ABC中，已知?B?45?,AC?否 是 输出S 开始 2BC，则?C? ． ?x?y?0,13．设D为不等式组?y)，则?x?y?0,表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A(x,结束 ?x+3y?3?2x?y的最大值是_______；x?yx?y22的取值范围是 ．
14．若集合M满足：?x,y?M，都有x?y?M,xy?M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M?R），f：M?M是从集合M到集合M的一个函数，
①如果?x,y?M都有f(x?y)?f(x)?f(y)，就称f是保加法的； ②如果?x,y?M都有f(xy)?f(x)?f(y)，就称f是保乘法的； ③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的． 在上述定义下，集合
?3m?nm,n?Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数f(x) 在
?Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f(x)= ．
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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
2已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值． 6416．（本小题满分13分）
甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同
学参加较为合适？并说明理由；
（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数
为?（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求?的分布列及数学期望E?．
17．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且
E
AF//BE,AB?BE,平面ABCDI平面ABEF?AB,
AB?BE?2AF?2.
（Ⅰ）求证：AC//平面DEF； （Ⅱ）若二面角D?AB?E为直二面角， （i）求直线AC与平面CDE所成角的大小； （ii）棱DE上是否存在点P，使得BP?平面DEF?
若存在，求出
D
F
A B
C
DP的值；若不存在，请说明理由． DE18． （本小题满分13分）
x2y2??1上的动点P与其顶点A(?3,0),B(3,0)不重合． 已知椭圆C:32（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM//PA,ON//PB时，求?OMN的面积．
19．（本小题满分14分）
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2设函数f(x)?ln(x?1)?ax?x?1，g(x)?(x?1)e?ax，a?R．
x2（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）若函数g(x)有两个零点，试求a的取值范围； （Ⅲ）证明f(x)?g(x)． 20．（本小题满分13分）
设m,n(3?m?n)是正整数，数列Am:a1,a2,L,am，其中ai(1?i?m)是集合{1,2,3,L,n}中互不相同的元素．若数列Am满足：只要存在i,（使ai?aj?n，总存在j1?i?j?m）有ai?aj?ak，则称数列Am是“好数列”． k（1?k?m）（Ⅰ）当m?6,n?100时，
（ⅰ）若数列A6:11,78,x,y,97,90是一个“好数列”，试写出x,y的值，并判断数列：
11,78,90,x,97,y是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列A6:11,78,a,b,c,d是“好数列”，且a?b?c?d，求a,b,c,d共有多少种不同的取值？
（Ⅱ）若数列Am是“好数列”，且m是偶数，证明：
a1?a2?L?amn?1?．
m2北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2017．1
一、选择题：（满分40分）
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题：（满分30分） 题号 答案 9 10 11 12 13 14 是，f(x)?x,x?Q 9，[?2,0] 4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）
2解：（Ⅰ）因为f(x)?23sinxcosx?2cosx?1
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?2sin(2x?)．
?6
所以f(x)的最小正周期为?． ………………………………………………………7分
????2??x?,所以-?2x??. 64663??? 当2x??,即x?时，f(x)取得最大值2；
626??? 当2x???,即x??时,f(x)取得最小值?1．…………………………13分
666（Ⅱ）因为?16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：
…………………………………4分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：
x甲?x乙?1?70?2?80?4?90?2?8?9?1?2?4?8?3?5??85， 81?70?1?80?4?90?3?5?0?0?3?5?0?2?5??85， 8?88?85?
222??93?85???95?85???35.5，
? 因为 x甲?x乙，s甲2?s乙2，
所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：
3从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为f1?，
8乙获得85分以上（含85分）的频率为f2?因为f2?f1，所以派乙参赛比较合适．
（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
41?． 82P?A??63?． ……………………………………………………… 9分 843随机变量?的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,)．
4?3??1?∴P???k??C?????4??4?k3k3?k
，k?0,1,2,3．
所以变量?的分布列为：
北京市朝阳区2017届高三上学期期末统一考试数学理
