课时规范练 A组 基础对点练
1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 1
C．a＞－e
B．a＞－1 1
D．a＜－e
解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.选A. 答案：A
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( ) A．11或18 C．18
B．11 D．17或18
解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
2????1＋a＋b＋a＝10，?a＝－3，?a＝4，即?解得?或? ????3＋2a＋b＝0，?b＝3，?b＝－11.
??a＝－3，而当?时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，x∈(－∞，1)，f′(x)＞0，
??b＝3x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.选C. 答案：C
3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A．y＝x3
B．y＝ln(－x)
C．y＝xex
－
2
D．y＝x＋x
解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D. 答案：D
4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( ) A．2 C．6
B．3 D．9
解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0?a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab， ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D. 答案：D
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( ) A．－37 C．－5
B．－29 D．以上都不对
解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减． 所以x＝0为极大值点，也为最大值点．
所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5. 所以最小值是－37. 答案：A
6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－ 1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0. 答案：D
1
7．函数y＝2x－x2的极大值是________． 2
解析：y′＝2＋x3，令y′＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0.当x＞0，y′＞0， 所以当x＝－1时，y取极大值－3. 答案：－3
8．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________． 解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，
2???3×2＋6a×2＋3b＝0，?a＝－1，???
2???3×1＋6a＋3b＝－3?b＝0.
所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2. 所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4
9．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，所以Δ＝4m2－4×3(m＋6)＞0，解得m＞6或m＜－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y＝4x＋4. (1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， 1??
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)?ex－2?.
??令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
B组 能力提升练
11．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0＜x＜1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)＜0，当x＞1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)＞0,1不会是极值 点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0＜x＜1，x
＞1时，f(x)＞0，由极值的概念，知选C. 答案：C
12．若0＜x1＜x2＜1，则( )
A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B．ex1－ex2＜ln x2－ln x1 C．x2ex1＞x1ex2 D．x2ex1＜x1ex2
xe－ee?x－1?ex
解析：令f(x)＝x，则f′(x)＝x2＝x2.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，
x
x
x
即f(x)在(0,1)上单调递减，∵0＜x1＜x2＜1， ex2ex1
∴f(x2)＜f(x1)，即x＜x，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.
2
1
答案：C
ex??－1?x>0?，
13．已知奇函数f(x)＝?x
??h?x??x<0?
则函数h(x)的最大值为__________．
e?x－1?ex
解析：先求出x>0时，f(x)＝x－1的最小值．当x>0时，f′(x)＝x2，∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e. 答案：1－e
14．若函数f(x)＝x3－3x在区间(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是
________．
解析：若f′(x)＝3x2－3＝0，则x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a＜1＜6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.解a＜1＜6－a2，得－5＜a＜1.不等
x
2020届高考数学(文)总复习课时练习(含解析)：第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值
