浅议张量分析的形成及其应用
摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。 关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学
1引言
张量是向量(矢量)的自然推广。简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。
2张量概念的起源
2.1 19世纪初的非欧几何学
1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了
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非欧几何学的存在。1868年，意大利数学家贝尔特拉米(E. Beltrami，1835-1900)发表了著名的论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的拟球曲面上实现。这就是说，非欧几何命题与相应的欧几里得几何命题一一对应，既然欧几里得几何学命题成立，那么非欧几何也就自然成立。
到此时为止，与欧几里得空间不同的空间观念建立起来了，几何学也重新回到了起点，接下来要做的是: 构造非欧的坐标系、建立非欧坐标系中的微分运算、依据这种微分运算重建微分几何学。这个工作由高斯发起，经黎曼发展，最终在里奇(G. Ricci，1853-1925)手中完成了张量分析，所以说真正意义上的非欧几何学——黎曼几何学(以张量分析为基本方法)的诞生，与19世纪初的非欧几何学有着鲜明的承接关系。 2.2 高斯内蕴几何的思想内涵
最早研究曲面的内在性质的是瑞士数学家欧拉(L. Euler，1707-1783)。1774年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。欧拉的内在坐标实质上是球面几何的参数表示，所以仍然是欧几里得空间中的几何形式，与高斯后来的直接把曲面作为空间是根本不同的。
欧几里得空间中的微分几何经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。古典微分几何对空间曲线的研究为高斯研究空间曲面的性质奠定了基础，高斯的内蕴几何理论发展了古典微分几何的空间观念，为黎曼革命性地构架弯曲空间的几何理论开了先河。 2.3张量概念的代数学基础
19世纪，代数观念经历了深刻变革，首先是哈密顿提出四元数理论，这是第一个不满足乘法交换律的数系，为凯莱创作矩阵论提供了模板。1843年，哈密顿在对复数的几何表示的研究中，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论。从此，数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地创造各种新的代数系统。四元数理论成为向量代数、向量分析以及格拉斯曼线性结合代数理论的先导。
在此之后，凯莱、西尔维斯特创造性地开辟出抽象代数的研究领域，在矩阵理论、代数形式、线性变换、代数形式的不变量理论等方面，进行了开拓性的研究。所谓不变量是
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指经变换后代数形式保持形式不变，凯莱计算了大量代数形式的不变量。1845年，凯莱发表“线性变换理论”一文，探讨求不变量的方式。1846年，凯莱发表“论线性变换”一文，引入了“协变量”的概念，这两篇文章奠定了不变量理论的基础。受凯莱的影响，西尔维斯特在不定量理论的创立过程中也做了许多工作，“不变量”这个术语就是西尔维斯特引进的。
凯莱的不变量理论是在线性变换理论的基础上展开的，它的意义在于揭示自然界中不随坐标系而改变的内在性质。不变量理论最终体现出其价值, 是在爱因斯坦的几何化的引力结构被发现之后。从那时起，不变量理论成为数学中的重要而基本的内容，在黎曼几何学、数学物理学的研究中产生了直接的影响。
有了线性变换这个工具，从1854 年开始, 凯莱连续发表了一系列共10篇论代数形式的学术论文，“代数形式”是他用来指称齐次多项式的名词，现在，所谓代数形式是指包含n个变元x1,x2...xn的m次齐次多项式f(x1,x2...xn)，最常见的是二次型。关于代数形式不变量的研究到了贝尔特拉米那里转向了微分形式不变量的研究，而这也正是张量概念开始的地方。我们知道，张量分析的源头是黎曼的度量形式ds??gijdxidxj这个二次微分形式。
2i,j?1n因此，抽象代数领域的开辟，为张量数学打下了基础。
3张量分析的建立
3.1 Cay ley的向量代数定义
土体中孔隙水压力会随着循环荷载作用发生变化，继而引起土体变形和强度变化，因此研究冻融粘土在不同条件下孔隙水压力的变化规律十分重要。在动应力作用下，动孔隙水压力呈现波动变化，而又单调增长。在1858年的第一篇矩阵文章“矩阵论的研究报告”中，凯莱引进了矩阵的基本概念和运算；给出了零矩阵、单位矩阵的定义，两个矩阵的和。他注意到，上述定义不仅适用于n×n矩阵，而且可用于任意的m×n矩阵，他指出，矩阵加法满足结合律和交换律。对于一个数m，凯莱定义mA为这样的矩阵，其每一个元素都是A的对应元素的m倍。
运用矩阵代数方法，凯莱对线性变换进行了研究，从而引向了向量的代数定义。在1845 年论文中，凯莱研究了下面的问题：如果函数U???(r,s,xr,ys)通过替换
,2,m,1,2,m,,,,,,xr?a1rx1?arx2?...?arxm，ys?bsy1?bsy2?...?bsym变换为U???(r,s,xr,ys)那么系
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数函数a，b应满足的关系。针对这个问题，凯莱在这篇14页的论文中，详细地研究了矩阵函数的特征值。这个工作为1846年论文作了基础工作。在1846年论文中，Cayley明确了向量的代数意义，即：对任意多函数的所有导数，使这些导数具有这样的性质：在变量的任意线性变换之后保持它们的形式不变。凯莱的新思想导向了线性变换不变形式的研究, 这篇论文的重要意义在于引进“协变”量，而且通向了向量的代数定义。Cayley的结论揭示了向量在坐标变换下的不变性，从而为引进张量概念准备了代数基础：一方面他引进了线性变换的研究：另一方面，他对不变量理论的新方法提供了向张量数学发展的途径。事实上，Ricci最终能够实现绝对微分学的张量表达，在很大程度上依赖Cay ley的工作。 3.2 张量分析形成
1854年，乔治·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866)在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，在这篇演说中，黎曼将流形看成一个独立的几何实体，而不再需要外维空间，从而提出了n维微分流形的原始形式。黎曼用微分弧长平方所确定的正定二次型刻画度量形式，用度量形式确定流形的内在性质，因此说黎曼设想了一种新的几何空间, 这种n维弯曲的空间正是张量得以存在的空间。Riemann的分析技术包括度量和曲率张量，他在几何领域作出了富有意义的变革，并且改变了几何问题的前景。Riemann的观点主导了微分几何，直到Cardan学派引进活动标架法。
黎曼的深刻的思想引出了曲线的微分运算，他提出一般空间的度量形式
ds??gijdxidxj之后，对流形的度量形式进行了微分运算，以得到给定空间的曲率。黎曼
2i,j?1n把通常熟悉的三维空间推广到n维空间中的m维可微流形，黎曼的高维空间思想发展了高斯的内蕴微分几何学的思想，他把高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何。流形不依赖于外围空间，它本身是可以弯曲的，因此每一点在该空间中的局部不一定相同。为了刻画局部度量，黎曼从定义两个邻近点的距离ds出发，给出了下列公式：
ds??gijdxidxj，即给出了被称为黎曼度量的度量形式，定义了黎曼空间。这种空间的非
2i,j?1n欧性质提出了新的问题：传统的微分几何方法是在笛卡儿空间中进行的微分运算，坐标轴都是直线。而黎曼空间要求曲线坐标系，从而引起了微分运算的困难，因为直线坐标系中函数的偏微分是易于表达的，而曲线坐标系的基向量也要同时被微分，这是一个困难。要
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想解决这个问题，必须要有张量这个运算工具，因此，黎曼的思想在很大程度上推动了张量数学的产生。
1864年贝尔特拉米在《数学杂志》(Giornale di Matematiche)上发表文章“分析应用于几何的研究”，扩展了凯莱的代数形式不变量的研究，第一个对二次微分形式的不变量作了研究，给出了具有几何意义的两个微分不变量，开创了微分几何中的不变量研究。
在此研究的基础上, Christoffel直接继承了Riemann的思想，有所不同的是, Christoffel 虽然和Riemann一样是从二次微分形式开始的，但是他不是计算流形的曲率，而是考虑局部等价问题导出了协变微分公式。Christoffel在1869年发表Ueber die trans-formation der homogenen different ialausdrucke zweiten grades一文，开始研究Christoffel符号，这篇论文考察了两个n变量实二次微分形式的变换，证明等价变换是由一个点的初始值决定的。论文中Christoffel引进了曲率张量的分量，且建立了曲率张量(里借用当时还未出现的名词)方程。
这些结果为Ricci建立绝对微分法准备了必要的前提，非欧几何的可计算阶段已经成为现实，Riemann几何也已经成形了。“Christoffel引进的这两个概念的重要意义至少在于：帮助建立曲率张量和协变微分概念；使得Ricci 可以借助他的工作发展出绝对微分学；使得Einstein 在物理学中构造张量分析方法。”
1901年，Ricci和他的学生Levi-Civita合写了Methodes de calcul differnt ielabsolus et leurs applications，总结了Ricci在这个领域的成果，成为张量分析的经典著作。由于绝对微分学研究协变的关系，即从一个坐标系变到另一个坐标系后仍然保持不变的关系，这一特征使绝对微分学成为爱因斯坦广义相对论的有效的数学工具。“各种非欧几何在Lobachev ski，Cayley，Beltrami以及许多其他人之后的发展，已经显示出平行假设的变化。而Riemann打开的建立在微分形式之上的方法，以及Chritoffel建立的新概念，到了Ricci那里，完成了曲线微分方法的总结性工作。”
1913年，Albert Einstein和Marcel Grossmann在《广义相对论纲要和引力论》一文中首次使用“张量”一词，并为广义相对论提供数学基础。至此，“张量分析”完成了从数学结构到物理应用的全过程。
4张量分析的应用
4.1 张量分析和广义相对论
爱因斯坦建立广义相对论的这一任务，从1908年到1911年，困扰了他四、五年的时
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浅议张量分析的形成及其应用
