第二章 单自由度系统的自由振动
本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动
无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m，单位是kg。弹簧刚度为K，单位是N／m，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg作用而产生拉伸变形?：，同时也产生弹簧恢复力K?，当其等于重力W时，则处于静平衡位置，即 W=K??
若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状一自由度弹簧—质量系统 态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m向下运动
未挂质量位到x，此时弹簧恢复力为K(?+x)，显然大于重力W，
由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度静平衡位置 运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘
W?mg?k?积)，建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 k???x? x
??kx?0 (1-1-1 m?x改写为
k m ?m?x?x?F?W?k???x??m?令
W (1-1-2)
p2?k m
单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为
???p2x?0 xst (1-1-3)
设方程的特解为 x?e
将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为
s2?p2?0s1,2??ip
则(1-1-3)的通解为
x?C1eipt?C1e?ipt?Ccospt?Dsinpt (1-1-4)
C、D为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时
??x?0 x?x0,x （1-1-5）
1 / 4
则
x?x0cospt??0xsinpt p（1-1-6）
经三角变换，又可表示为
x?Asin(pt??)
2 （1-1-7）
???x2?1px0?,??tg其中 A?x0?? （1-1-8） ?p??0x??自由振动的振幅A和初相位角?与系统的参数和初始条件有关。
系统的振动周期
T?2?m 秒（s） ?2?pk系统振动的频率为
fn?11?T2?k1?m2?g ( k??mg) 秒-1(s-1)或(Hz) ?弧度/秒(rad/s)
系统振动的圆频率为p?
k2? ?2?fn?mT§2-2 能量法
系统的动能T与势能U之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即 T+U=常量 （2-2-1） 因而有
d(T?U)?0 dt （2-2-2）
应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。 设物体按x=Asin（?n+?）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置x时的动能T和势能U分别为
T?m2k?,U?x2 x22将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。
当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值
Tmax?1mp2A2 212kA 2
（2-2-3）
当物体位移最大时，即x=?A，T=0，U达最大值 Umax?因此 Tmax=Umax 即
1122m?nA?kA2 222 / 4
得
p2?k,p?mk m§2-3 阻尼系统的自由振动
实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。 阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即 FR=cv
其是c称为粘性阻尼系数，v为物体的运动速度。 粘性阻尼系统的运动方程:
??cx??kx?0 (2-3-1) m?x令
kc?p2,?2?p mm (2-3-2)
(1-3-1)运动方程化为
???2?px??p2x?0 x设特解
(2-3-3)
x?est
得特征方程及特征根
s2?2?ps?p2?0,s1,2?(?????1)pst2 (2-3-4)
方程(1-3-3)的通解 x?C1e1?C2e或
s2t
(2-3-5) (2-3-6)
x?C1e1,2s?(????2?1)p?C2e1,2s?(????2?1)p阻尼讨论:
1.?>1,大阻尼情形 由于s1、s2 均为负实数，运动解x将按指数规律减小，并趋于平衡位置。 2.?=1,临界阻尼情形 特征方程有重根 s1=s2=-p，方程的通解为
x?(C?Dt)e?pt
（2-3-7）
系统受初始干扰离开平衡位置后又逐渐回到平衡位置，运动不明往复性的。
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单自由度系统(自由振动)
