第一章复习
X.1函数的极限及其连续性
概念：省略 注意事项
1. 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大
量，例如，y = f(x) = xsinx是无界变量，但不是无穷大量。因为取
TT JT
x = xlt = 2n7r + ^-时，/(兀)= 2/r +彳，当斤充分大时，/(￡)可以大于一预
2 2
先给定的正数M ；取x = xn= 2/?TF时，兀)=0
2. 记住常用的等价形式
当X—> 0时，sinx?兀， arcsinx?匕 tanx?兀， arctanx?九
1 ? 丄 1
nln(l + x)?兀， \一1 ~ x, 1 — cos x ~ — ， (1 + x) ~1 — x
2 n
例1当XT0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小
(A) x o (2) 1 -cosxo (3) sinx- tanx (4) ln(l + x2) o ()
2解：因为1—COSX?丄皿1 +兀2)?兀2,所以选择C
X2
Hr V e -COSX
练习hrn -------------
XT°
lncosx
\—1 + 1 —cosx
解lim =lim -------------------- In cosx go ln[l + (cosx-l)]
e -cosx
lim——— go ln[l +
(cosx-l)] + lim
XTO
1 - cos%
ln[l + (cosx-l)]
1-cosx
lim + lim () COS X — 1 XT° cos 无一 1
XT
9
JT
3. 若函数的表达式中包含有a + 4b (或奶+丽)，则在运算前通常要在分子分母
乘以其共轨根式a-4b (或丽-丽)，反之亦然，然后再做有关分析运算
例 2 求 lim sin( Jn匚Flzr)。
HT8
解 lim sin(7^2 + l^r) = lim sin[(V^2 +1 一 町兀 + n7r]
=lim(-l)\ + 1
”—?8
2
7t
+1 +
-------- / c ----------- > 0,(料 T
oo) ” T8
当 n t oo 时，sin
又 |(_1)” =1,故limsinCVn^+l^^O
练习 求lim[Jl + 2 + ??? + 〃—Jl + 2 + ??
? + (/? — l)]
解原式=lim
n(n +1) n(n-l) r 1 2n V2 2
\
\V ~2-
—■— ? —「 --------- ------ 「 -——
\Jn(n + T) + JM(/?_1)
4.
大—>8
该极限的特点:
l（i）r型未定式
1（2）括号屮1后的变量（包括符号）与幕互为倒数
解题方法
（1） 若极限呈广型，但第二个特点不具备，则通常凑指数墓使（2）成立
（2） 凡是广型未定式，其结果：底必定是幺，幕可这样确
定: 设 limw（x） = 0 , limv（x） = oo ,则
limv(^)(±w(x)J _ ±Iim ()()e — lim(l ± u(x)) = limev(x),n(,±w(x)) = elimv(x),n(1±M v(x)VXHX 这是因为 ln(l ± u{xy)?±%(x) o 1 . 1Y cos—+ sin — 例3求lim X X 丿 XT8 1 . 1} 解原式=lim cos—+ sin — x x X—>8 (2卡 =lim 1 + sin — XT8 2 r JVT8 X 2 .2 sin - -V—>oo Z 因为limsin土上= lim「^ = l,所以原极限=— 练习 求lim XTO + …+ e ,,xV' n原式=lim 1 + XTO v 八宀…+严—斤1 lr e_l）+（宀1）+…+（严_1） lim ------- = —lim 'TO n X x --------------------------------- --------- 1 （1 + 2 +…+ n） = — ? e — =-n 2 lix n XTO 因为 - 1 Zx 1 =—lim c — 1 e — 1 X n 1 XT° 5.几个常用的极限 lim 転（a >0） = 1 lim arctan x =— 2 x—?+oo 特别地 lim Vn = 1 ”T8 7lim arctanx = 1 lim arccotx = 0 lim 夕=0 XT lim arccotx = 7T lim e = oo xXT+8 一 8 lim x = 1 XT0+ v x.2单调有界原理 单调有界数列必有极限 此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列｛暫｝单调有 界；（2）设｛兀｝的极限存在，记为\\xmxn=l代入给定的兀的表达式中，则该式变为/的代 数方程，解之即得该数列的极限。 例4 已知数列｛atl｝：均=1,偽=1+ 4 ,???,% = ]+ ，…，求lim%。 「 1 + Q] 1 + Q-1 E 显然V。 解 用数学归纳法可证得｛色｝单调增加： 假设皿_\\ < ak成立，于是 a a k ~ M a k-\\ - ak < Q （1 + 务_］）（1 + 色） 显然1<^<2,从而数列｛色｝有极限，不妨设lim^ = Ao zr A 由于匕=1 + _也_,两遍去极限得：人=1 +上一，即A-A-\\ = O9 2 1 + % 1 + A 即得出A二壬5。 2 根据包号性的推论可知人非负，所以linuj= 土5。 \ 2 X.3 〃项和的极限 求解方法： （1）利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（n个项按递增或递减 排列）; 、.（1 1 1 ） 例5求lim ----- H ------ --- ------------- 心8（1?2 2-3 解原式 兀?（〃 + 1）丿 1、 \\\ ( 1 “T8 例 6 求lim( 2丿 =+ =+???+ =)o V^2 + 1 Qn2 + 2 Vn2 +H =lim 1 1 “T8 (〃 + 1 、 解因为〒++ ?.. + V T + n Q rr + \\ J rr + 2 而lim \\rr +n + H =lim 〃T8 n 由夹逼准则有 lim( t——=+ / \°° j’r+i 冷『* 2 T+ …+ / Vn2+7i ) = 1 X.4斤项积的极限 （1） 分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应; （2） 把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消； （3） 夹逼定理 （4） 利用对数恒等式化为n项和形式。
大连理工大学《工科数学分析基础》第一章复习.docx
