2020高考数学(理)二轮复习：专题限时集训2 恒等变换与解三角形

专题限时集训(二)

恒等变换与解三角形

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，A2πsin A

＝3，则sin C＝( )

7

A.5 3C.7

5B.7 7D.3 sin Aa

A [由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7，由正弦定理：sin C＝c＝7

5.故选A.]

1

2．在△ABC中，cos B＝4，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( ) 1A.4 3C.2

1B.2 15D.4 D [由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝2a.

在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 1

所以22＝a2＋4a2－4a2×4＝4a2，解得a＝1，所以c＝2. 又sin B＝1－cos2B＝

15， 4

111515

所以S△ABC＝2acsin B＝2×1×2×4＝4.故选D.]

3．(2019·唐山市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( )

15A.2 315C.4

11B.2 315D.8 1/7

D [∵a＝2，b＝3，c＝4，

b2＋c2－a29＋16－4217

∴cos A＝2bc＝＝＝，

2×3×4248则sin A＝1－cos2A＝491－64＝1515＝648，

15315

则h＝ACsin A＝bsin A＝3×8＝8，故选D.]

π??

4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈?0，2?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )

??1

A.5 3C.3

5B.5 25D.5 B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1π??

－sin2α.因为α∈?0，2?，所以cos α＝1－sin2α，所以2sin α1－sin2α＝1－sin2α，

??5

解得sin α＝5，故选B.]

bb

5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccos C＋acos A＝1，则cos B的取值范围为( )

?1?A.?2，＋∞? ???1?C.?2，1? ??

?1?

B.?2，＋∞? ???1?D.?2，1? ??

222222

bbba＋b－cbc＋b－a2b2

D [因为ccos C＋acos A＝1，得c×2ab＋a×2bc＝2ac＝1，所

以b2＝ac，

a2＋c2－b2a2＋c2－acac1所以cos B＝2ac＝≥2ac＝2，当且仅当a＝c取等号，且B

2ac1

为三角形内角，所以2≤cos B＜1.故选D.]

6．[易错题]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

2/7

π

即A＝B或A＋B＝2，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

7．(2019·大庆市高三第二次模拟)已知α，β为锐角，且(1－3tan α)(1－3tan β)＝4，则α＋β＝________.

2π

3 [将(1－3tan α)(1－3tan β)＝4展开得－3(tan α＋tan β)＝3(1－tan α·tan β)，即

tan α＋tan β

＝tan(α＋β)＝－3，由于α，β为锐角，0＜α＋β＜π，

1－tan α·tan β

2π

故α＋β＝3.] 8.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1

km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.

6－3

4 [如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝3(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.

由正弦定理得，3×

AC×sin∠DCAACAD

＝，即AD＝＝

sin∠ADCsin∠DCAsin∠ADC

6－2

432－6

＝(km)，

122

四边形

故S(km2)．]

11?32－6?216－3

?×＝ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×3＋×?22?242?

[能力提升练] (建议用时：20分钟)

11

9．已知sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，则logA．2

B．3 3/7

?tan α?2

?tan β?等于( ) ??5

C．4 D．5

11

C [因为sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，

11

所以sin αcos β＋cos αsin β＝2，sin αcos β－cos αsin β＝3，所以sin αcos β＝51tan α，cos αsin β＝，所以1212tan β＝5，所以log

?tan α?2

?tan β?＝log552＝4.故选C.] ??5

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝23，π??

bsin A＝acos?B＋6?，则b＝( )

??

A．1 C.3

B.2 D.5

π?31?

C [因为bsin A＝acos ?B＋6?，展开得bsin A＝2acos B－2asin B，由正弦

??31

定理化简得sin Bsin A＝2sin Acos B－2sin Asin B，整理得3sin B＝cos B，

即tan B＝

3π，而三角形中0＜B＜π，所以B＝. 36

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，代入得b2＝32＋(23)2－2×3×23π

cos 6，解得b＝3，所以选C.]

π?π?10?π???

11．(2018·聊城模拟)已知cos?θ＋4?＝10，θ∈?0，2?，则sin?2θ－3?＝

??????________.

π??

2θ＋??1＋cos24－33ππ???1???

[由题意可得，cos2?θ＋4?＝＝，cos?2θ＋2?＝－sin 10210????4

2θ＝－5，

π?π?410π?π???

即sin 2θ＝5.因为cos?θ＋4?＝10＞0，θ∈?0，2?，所以0＜θ＜4，2θ∈?0，2?，

??????3

根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝5， 由两角差的正弦公式，可得 π?ππ?

sin?2θ－3?＝sin 2θcos 3－cos 2θsin 3 ??

4/7

41334－33＝5×2－5×2＝10.] 12.(2019·潍坊市一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin

2A＋B

2

－3sin C＝1，a＝3，b＝4.

(1)求角C的大小和BD的长；

(2)设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积． A＋B

[解](1)由题意可得：3sin C＋1－2sin22＝0， ∴3sin C＋cos(A＋B)＝0， 又A＋B＝π－C，

3

∴3sin C－cos C＝0，可得tan C＝3， π

∵C∈(0，π)，∴C＝，

6

π

∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3＋4－2×3×2×cos 6＝1，解得BD＝1.

(2)由(1)可知BD2＋BC2＝4＝CD2， π13

∴∠DBC＝2，∴S△DBC＝2BD·BC＝2， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠BCE＝∠DCE，

1

在△CEB和△CED中，S△BCE＝2BC·CE·sin∠BCE， 1

S△CED＝2CD·CE·sin∠DCE， 可得：

S△BCEBC33

＝CD＝2，∴S△BCE＝2S△CED， S△CED

333?3?

∴代入S△BCE＋S△CED＝S△BCD＝2，得?1＋?S△CED＝2，∴S△CED＝＝

2??2＋3

5/7