.\\
（2）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。
解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为
，
则 ，解得
（1）因为 ，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，
。
则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即
（2）因为
则细绳将对物体施加拉力
，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，，由牛顿第二定律得
，解得
。
点评：当转盘转动角速度
时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时
物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出 见， 取决于
是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度 和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。
。可
与物体的质量无关，仅
.\\
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力（或拉力）的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。
【例5】小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图 中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力
的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如
图3所示有
由此可得 ，
可见， 越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
【例6】如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
.\\
解析：①当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为
，则有
将已知条件代入上式解得②当角速度继续增大时又是一个临界状态），则有
将已知条件代入上式解得所以当
满足
时，AC、BC两绳始终张紧。
，此时两绳拉力
、
都存在。
减小，
增大。设角速度达到
时，
（这
本题所给条件
将数据代入上面两式解得
，
点评：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。 如果如果
时，，
，则AC与轴的夹角小于
。
，则BC与轴的夹角大于45°。
3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类如下：
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
，否则不能通过最高点；
，即
.\\
（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有
，否则车将离开桥面，做平抛运动；
，
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：
a. 当 必然是向上的；当
b. 当弹力大小 心力只有一解 点的临界条件。
时物体受到的弹力必然是向下的；当
时物体受到的弹力恰好为零。 时，向心力有两解 ；当弹力
；当弹力大小
时，向
时物体受到的弹力
时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高
结合牛顿定律的题型
【例7】如图5所示，杆长为 ，球的质量为 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 度大小。
，杆连球在竖直平面内绕轴O
，求这时小球的瞬时速
，所以弹力的方向可能向上
解析：小球所需向心力向下，本题中 也可能向下。
（1）若F向上，则 ， ；
（2）若F向下，则 ，
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。
需要注重的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
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【例8】如图 所示，用细绳一端系着的质量为 转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为 的重心到O点的距离为
的物体A静止在水平
的小球B，A，为使小球
）
。若A与转盘间的最大静摩擦力为
的取值范围。（取
B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需
要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B： 对于A： 联立解得 所以
， ，
点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判定物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（非凡是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
圆周运动学习知识要点，受力分析和题目精讲（张晓汇总整编）
