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复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复
平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在
需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
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代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos θ+ isinθ）
其中z?r θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
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精品文档 以ox轴正半轴为因此复数z的辐
③辐角主值
表示法；用arg 定义：适合[0，
始边，向量oz所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 角是θ+2k?（k∈z）
?z 表示复数z的辐角主值。
2?）的角θ叫辐角主值 0?argz?2?
唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z?r是唯一的。
⑤z=0时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图）
何量oz1对应于z1 何量oz2对应于z2
何量z1z2对应于z2?z1?z
显然oz∥z1z2
则argz1=∠xoz1=θ1
??? 与复数z2－z1对应的向量为oz
? argz2=∠xoz2=θ2
argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z1=r1（cosθ1+isinθ1） z2=r2（cosθ2+isinθ2） ①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
如图：其对应的向量分别为oz1oz2oz
显然积对应的辐角是θ1+θ2
????< 1 > 若θ2 > 0 则由oz1逆时针旋转θ2角模变为oz1的r2
?倍所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。
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复数的三角形式及乘除运算复习进程
