中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲
一、胡不归问题模型
话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”
这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．
如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒，砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．
例题：2019年长沙中考数学第12题
二、胡不归问题典型题目汇总
1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数yA(-1.0)、B(0,?3)?ax2?bx?c的图象经过点
)、C(2,0)，其对称轴与X轴交于点D。 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。 （2）若P为y轴上的一动点，连接PD，则12PB?PD的最小值为_____ 。 （3）M?s,t?为抛物线对称轴上的一个动点。 ①若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有_____个。 ②连接MA、MB，若?AMB不小于60?，求t的取值范围。
2.二次函数y?ax2?2x?c的图象与x轴交于A、C两点,点C（3，0）,与y轴交于点B（0，－3）. (1)a=_____,c=_____. (2)如图1,P是x轴上一动点,点D（0，1）在y轴上,连接PD,求小值; (3)如图2,点M在抛物线上,若S?MBC
?32PD?PC的最,求点M的坐标.
3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3）,点A为x轴负半轴上一点,AM已知抛物线y?ax2?BC于点M交y轴于点N,满足4CN＝5ON.
?bx?c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)连接AC,点D在线段BC上方的抛物线上,连接DC、DB,若?BCD和?ABC面积满足S?BCD?35S?ABC,求点D的坐标; (3)如图2,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒个单位35的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F的坐标.
4.如图，抛物线y?12x?mx?n2与直线y??12x?3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A(0,3),C(3,0)。 （1）求抛物线的解析式和tan?BAC的值。 ?PA（2）①P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ交轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与?ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 ②设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲11
