www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第八章向量代数与空间解析几何8.1复习笔记一、向量及其线性运算1．向量的概念（1）向量的定义既有大小，又有方向的这一类量称为向量（或矢量）．（2）向量的表示①用有向线段表示向量；②用黑体字母来表示向量．（3）自由向量只考虑向量的大小和方向，不考虑起点的向量称为自由向量．（4）相等向量大小相等且方向相同的向量．（5）向量的模向量的大小称为向量的模．（6）单位向量模等于1的向量称为单位向量．（7）零向量模等于零的向量称为零向量，记作0或．（8）向量a与b的夹角设两个非零向量a，b，任取空间一点O，作1/191．规定不超过π的∠AOBwww.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（设?=?AOB,0????）称为向量a与b的夹角（图8-1-1）．记作或，即．注：如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值．图8-1-1（9）向量平行如果（10）向量垂直如果（11）向量共线两向量平行，又称两向量共线．（12）向量共面设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，称这k个向量共面．2．向量的线性运算（1）向量的加法2/191或π，称向量a与b平行，记作．，称向量a与b垂直，记作a⊥b．www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台①定义设有两个向量a与b，任取一点A，作AC（图8-1-2），则向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a＋b．，再以B为起点，作，连接图8-1-2②运算规律a．交换律a＋b＝b＋a；b．结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．（2）向量的减法（差）①负向量a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量称为a的负向量，记作－a．②向量的差向量b与a的差③向量加法和减法的不等式，即把向量－a加到向量b上，便得b与a的差b－a．（3）向量与数的乘法3/191www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台①定义向量a与实数λ的乘积记作λa．②乘积的模模③乘积的运算规律a．结合律．b．分配律（4）两向量平行的充要条件向量，则b∥a?存在惟一的实数λ，使b＝λa．3．空间直角坐标系（1）坐标分解式如图8-1-3所示，，则设则上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj和zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量．（2）向径4/191www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台向量称为点M关于原点O的向径．图8-1-34．利用坐标作向量的线性运算设，λ为实数，则注：当向量时，向量相当于，坐标表示式为即5．向量的模、方向角、投影（1）向量的模5/191
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(8-9章)【圣才出品】
